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正多面体の辺の数と頂点の数が覚えられません。

chokkou421さん

2011/2/1912:04:35

正多面体の辺の数と頂点の数が覚えられません。

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godzillacunさん

編集あり2011/2/1912:23:03

そんなもの覚えようとする方が無茶です。
式で求めるものです。

まず、正多面体の面の形は覚えていないといけません。

正四面体→正三角形
正六面体(=立方体)→正方形
正八面体→正三角形
正十二面体→正五角形
正二十面体→正三角形


【辺の数】
以下の式で求まります

「1つの面の辺の数×面の数÷2」

これはつまり、全ての面をバラバラにしたと考えます。
たとえば正八面体は正三角形が8こ集まっています。
正三角形には3本の辺がありますから、バラバラ状態では合計で3×8=24本の辺があります。
これを貼り合わせると、2本の辺がそれぞれ1組になって1本になります。
よって、正八面体の辺は24÷2=12本となります。

この公式にあてはめて求めた物が以下です。

正四面体:3×4÷2=6本
正六面体(=立方体):4×6÷2=12本
正八面体:3×8÷2=12本
正十二面体:5×12÷2=30本
正二十面体:3×20÷2=30本

【頂点の数】
以下の式で求まります。
「1つの面の頂点の数×面の数÷1つの頂点に集まる面の数」

考え方は辺の数と同じで、まず全ての面をバラバラにし、後から割るというものです。
ただし、頂点の場合、複数の面の頂点が集まって立体の頂点となるので、「÷2」ではなく、「÷1つの頂点に集まる面の数」となっています。
この値は覚えている必要があります。

正四面体→3面
正六面体(=立方体)→3面
正八面体→4面
正十二面体→3面
正二十面体→5面

覚えるというより、立体の形を知っていれば、OKなのですが。

この式で頂点の数を計算したものが以下です。

正四面体:3×4÷3=4個
正六面体(=立方体):4×6÷3=8個
正八面体:3×8÷4=6個
正十二面体:5×12÷3=20個
正二十面体:3×20÷5=12個



もし1つの頂点に集まる面の数を覚えるのも面倒だというなら、以下の式を覚えるのも一つの手段です。

「頂点の数-辺の数+面の数=2」

「オイラー式」という有名な式で、上の公式から辺の数を求めれば、面の数は分かりきっているので、この式に代入して、頂点の数を求めることができます。
つまり、
「頂点の数=辺の数-面の数+2」
です。

質問した人からのコメント

2011/2/22 00:29:21

笑う ありがとうございます!

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monnyand1さん

2011/2/1912:14:07

基本みんな覚えてないと思います
っていうか覚えなくていけますよ

2011/2/1912:11:53

覚えるものではありません。計算できます。

例えば、正8面体。面は8枚の正三角形です。なので、バラバラにすれば、のべ8×3=24本の辺があります。組み立てるときに、辺と辺をくっつけるのですから、実際の辺の数は24÷2=12本、となります。

同様に、頂点はバラバラの状態で3×8=24個あります。頂点には4つの正三角形が集まります。(これは知っておかないとだめです。正四面体なら3つ、正20面体なら5つですね。)なので、実際の頂点の個数は24÷4=6となります。

じつは、(頂点数)-(辺の数)+(面の数)=2という公式(どの正多面体でも成立)があるので、これを知っていれば、辺か頂点の一方を求めれば、残りもわかります。

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