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線形代数についての質問です。 A= 1行目4 -1 -1 , 2行目-3 2 3 ,3行目 -1 -1...

hst********さん

2011/5/2118:48:51

線形代数についての質問です。


A= 1行目4 -1 -1 , 2行目-3 2 3 ,3行目 -1 -1 4 の三次正方行列とします。

このとき A^3-10A^2+31A-30E=0 になることを証明してください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2011/5/2209:31:11

A^3,A^2を計算して代入すればできるのですが、

A=
(4..-1...-1)
(-3..2....3.)
(-1.-1...4.)
について、
固有多項式は、
|x-4....1......1|
|..3...x-2...-3|=0 より
|..1.....1...x-4|

(x-2)(x-4)^2+3-3-(x-2)+3(x-4)-3(x-4)=0
(x-2){(x-4)^2-1}=0
(x-2)(x^2-8x+15)=0
x^3-10x^2+31x-30=0

したがって、固有多項式f(x)は、
f(x)=x^3-10x^2+31x-30

ハミルトンケーリーの定理より、f(A)=0だから、
f(A)=A^3-10A^2+31A-30E=O

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