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黄チャート P.177 例120について 問)角αが0°<α<90°、cos2α=cos3α・・①を満...

tel********さん

2011/7/722:28:41

黄チャート P.177

例120について

問)角αが0°<α<90°、cos2α=cos3α・・①を満たすとき、

αは何度か。

この問題は(2)もありますが、都合上割愛します。

解答で

0°<α<90°から

0°<2α<180°、2α<3α<270°・・(i)

よって、①から

360°-2α=3α・・(ii) ←図がないので少し分かりづらいです

-----------------------------------------ここまで

ここで、質問です。

ⅰの3αの範囲はなぜ180°からではないのでしょうか?

ⅱ式は①が成り立つときにcos2αとcos3αが

x軸に関して、対称となることから導かれていると思うのですが

そうすると、ⅰが2αからなのが理解できません。

0°<2α<180°なので

対称性は利用できないだろうと考えたのですが。

これについて、分かる方は

回答よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ken********さん

編集あり2011/7/1215:57:02

2αと3αのcosの値が等しいという条件から、2αと3αを単位円周上に表したとき、x軸と対称な点であることが分かります。
では具体的にそれらがどの位置にあるかを考えると、
まず0°<α<90°より、0°<2α<180°であるので、2αは第1象限か第2象限です。ということは3αは2αより大きな角であるので、第3象限か第4象限ということになりますが、一方0°<3α<270°であるので、3αは第3象限ということになります。となると自動的に2αは第2象限に決まります。したがって対称性から(ii)が導かれます。
以上のようなことをもっと簡潔に書くと、解答のようになります。

質問した人からのコメント

2011/7/12 21:10:06

降参 回答をいただいた後、回答を参考にしながらもう一度、考えてみました。時間を置いたせいかストンと腑に落ちまして、他の方の回答も大変参考になったのですが、この方をBAとさせていただきます。みなさん、どうもありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

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xxx********さん

2011/7/723:09:44

>ⅰの3αの範囲はなぜ180°からではないのでしょうか?

恐らく、0°<2α<180°と2α<3αから、180°<3αと考えたのだと
思いますが、誤りです。

α=10°などとしてみれば確認できます。


2つめ。

定義域を無視し、2αと3αがx軸対称になることのみに注目すると、
(a)2αが第1象限の角のとき、3αは第4象限の角
(b)2αが第2象限の角のとき、3αは第3象限の角
(c)2αが第3象限の角のとき、3αは第2象限の角
(d)2αが第4象限の角のとき、3αは第1象限の角
の4パターンが考えられます。

しかし、0°<2α<180°なので、cやdは不適です。
また、0°<3α<270°なので、aも不適です。

ここで、第3象限の角と言っても、180°+n×360°から270°+n×360°
(nは整数)と、様々な角が考えられるので、2α<3α<270°とすることで
定義域に合うのはn=0の場合だけということを確認しているのだと思います。

sok********さん

2011/7/723:01:55

もちろん3αの定義域は0<3α<270なのですが(0°<α<90°ですから・・・)

ここでは、cos2α=cos3αを満たす2αおよび3αは
それぞれ第2、第3象限になければならないので、そのことを担保していますという程度の意味合いではないでしょうか。

2αと3αはx軸対象である。しかも明らかにy軸の左側にある。さらに2α<3αを満たす2α、3αについて考えると
2αは第2、3αは第三象限にあると・・・・

あまりうまく言えませんが、参考にしてください。

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