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解き方を教えてください(図形)

kon********さん

2011/8/2517:51:49

解き方を教えてください(図形)

下の図で三角形ABCは∠BAC=90度、AB=ACの直角二等辺三角形である。
三角形ABdは∠ADB=90度の直角三角形でEは辺BCとADの交点である。
また、点Fは点C から辺ADに引いた垂線と、ADとの交点である。
AB=AC=10センチ、AD=8センチ、BD=6センチの時線分EDの長さを求めよ。

答えは7分の6センチですが、解き方が分からないので教えてください。

解き方,三角形ABD,交点,垂線,直角二等辺三角形,AD-AF,三角形ACF

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ベストアンサーに選ばれた回答

mik********さん

編集あり2011/8/2618:57:24

作図してみると簡単でした。
「三角形の内角の和は180°」を使って、
∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°
∠ABD+∠BAD=90°・・・①

一方で
∠CAF+∠BAD=∠BAC=90°・・・②

①と②を辺辺引くと
∠ABD-∠CAF=0°
∠ABD=∠CAF

二角とその侠辺が等しいため
△ABD≡△CAF
もうここまでくれば判るよね!

くどいが最後まで書くと、
AF=BD=6
CF=AD=8
BD:CF=6:8

△BDE∽△CFE (証明は省略) だから
ED:EF=6:8
ED=6x、EF=8x とおくと、
ED+EF=14x=AD-AF=8-6=2
x=2/14=1/7
ED=6x=6/7

※図のABの長さが8になっていますが10の間違いです。すみません。

作図してみると簡単でした。
「三角形の内角の和は180°」を使って、
∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°...

質問した人からのコメント

2011/8/29 15:03:54

成功 納得しました。
皆さん、回答ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

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hik********さん

2011/8/2518:52:09

すでに回答が出ているので、もう無用なのかも知れませんが・・・。

BDとFCが平行(同位角が等しいので)
なので、錯角も等しいわけで、∠EBD=∠EFC・・・①
ここで、∠EBD=∠EFC=∠αとします。

仮定から三角形ABCが直角二等辺三角形なので、∠ABC=∠ACB=45度
すると、三角形ABDの∠ABDは45度+α・・・②

三角形ACFにおいて、∠ACFは45度-αと表すことができます。
三角形ACFにおいて、∠CAFは180度-∠CFA(90度)-∠ACF(45度-α)
整理すると、∠CAF=45度+α・・③

②③より、∠ABD=∠CAF・・・④

④に加え、仮定からAB=AC、∠ADB=∠CFA、直角三角形の合同条件「斜辺と1つの鋭角が等しい」
ので、三角形ABD=三角形ACF

よって、AD=CF=8cm、BD=AF=6cm
①から、三角形EDB∽三角形EFC(3つの角がそれぞれ等しいから)
その相似比はBD:CF=6:8=3:4

FDはAD-AF(8-6)=2cm
EDは、3/7FD

よって、ED=3/7×2=6/7cm


役にたったでしょうか??

kot********さん

2011/8/2518:08:09

△AFCも6,8,10の直角三角形。AF=6→FD=2
△EDB相似△EFC→相似比はBD:CF=8:6=4:3
→FE:ED=4:3→ED=FD*3/7=6/7cm・・・(答)

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