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写像について質問させてください。 Xは有限集合とするとき, ① 写像f:X→X が単...

mat********さん

2011/9/1402:42:39

写像について質問させてください。

Xは有限集合とするとき,
① 写像f:X→X が単射 ⇒ fは全射
② 写像g:X→X が全射 ⇒ gは単射

は正しい命題でしょうか?

もう少し複雑な問題を考えているのですが,自分なりに考えて,
上の①,②が正しければ,いま考えている問題が解決するというところまできているのですが,
①,②の真偽がよくわかりません。当然一般には成り立つはずはありませんが,XからXへの写像
というところをどのように使うかだと思うのですが…

詳しい方がいましたら、よろしくお願いします。

補足ご回答ありがとうございます。
自分なりに考えて、①は証明できたのですが,②をどのように証明するかがわかりません。
よろしければヒントで構わないのでお教え願えないでしょうか?
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

エヌさん

編集あり2011/9/1414:54:32

有限集合であるならそれは正しいです。
追記:異なる自然数に1:1対応が作れないことから。

補足:gが単射でなかったとするとgをXより真に小さい集合に制限して,全射であることを保ちながら単射にできる(g(a)=g(b)となるa,bのどちらかを除けばいい)。これはXより真に小さい集合とXの間の全単射になるから矛盾。

質問した人からのコメント

2011/9/14 23:46:46

成功 理解できました!
ありがとうございました。

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