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整式の除法の問題が解けません。簡単な解き方ありませんか?

Gakuさん

2011/10/1517:23:02

整式の除法の問題が解けません。簡単な解き方ありませんか?

整式x^3+px^2-qx-2がx^2-1で割り切れるとき、pの値は・・・という問題です。解答は、2です。

x^3+px^2-qx-2をx^2-1で割ってp、qを求めようとしたのですが、途中でわからなくなります。
違う求め方がわかりません。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ガルバさん

2011/10/1517:45:15

AをBで割った商がQで、あまりがRであるとき
A=B*Q+Rと表せます。

(7を3で割った商は②余り1←7=3*2+1
と同じです)

~を~で割った商が~であまりが・・・
という問題は、ほとんどこの形にして解いたほうが簡単です。

整式x^3+px^2-qx-2がx^2-1で割り切れるとき
余りは0ですから
x^3+px^2-qx-2=(x^2-1)Q+0 と表せます
このQ(商)は最後までわからなくてかまいません
(求めようとすれば求められますが、今は問われていません)
さらにこの式の(x^2-1)を因数分解しておけば
x^3+px^2-qx-2=(x-1)(x+1)Q が得られます。
この式にx=1とx=-1を代入すれば
1+p-q-2=0 と
-1+p+q-2=0となりますので
これを解いてp=2 q=1となります。

今は、割り算実行の練習をしているのでしょうか?
だとするならば、割り算もしっかり練習しておかなければなりませんが
今後こうした問題はA=B*Q+Rの形にして解くようになるはずです。

質問した人からのコメント

2011/10/15 18:03:50

笑う x^2-1の因数分解を行ってx^3+px^2-qx-2にそれぞれ代入するんですね!解けました!!ありがとうございました!

ベストアンサー以外の回答

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mis********さん

編集あり2011/10/1517:31:37

x^2-1で割り切れるとき、x^2-1=(x+1)(x-1)ですから
x+1,x-1でも割り切れることになります。
よってA(x)=x^3+px^2-qx-2とおくと、因数定理より
A(-1)=0
A(1)=0
が成り立つわけです。

A(-1)=-1+p+q-2=0⇔p+q=3
A(1)=1+p-q-2=0⇔p-q=1
これらを解いて
p=2,q=1
となります

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