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行列Aを a=-1 b=4 c=1 d=2とする 行列 A^3-A^2-6Aを求めよ。 ...

bru********さん

2011/10/3123:32:19

行列Aを a=-1 b=4 c=1 d=2とする

行列 A^3-A^2-6Aを求めよ。

x^nを多項式x^2-x-6で割ったときの余りを求めよ。
ただしnは2以上の自然数とする。

行列A^nを求めよ。ただしnは自然数とする

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2011/10/3123:45:13

ケーリー・ハミルトンの公式よりA²-(a+d)A+(ad-bc)E=0
A²-A-6E=0
A³-A²-6A=A(A²-A-6E)=0

x^nを多項式x²-x-6で割ったときの商をQ(x),余りをax+bとすると
x^n=(x²-x-6)Q(x)+ax+b
x^n=(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b
これにx=-2,3をそれぞれ代入して
(-2)^n=-2a+b,3^n=3a+b
これを解いてa={3^n-(-2)^n}/5,b={2・3^n-3・(-2)^n}/5

よって余りはax+b={3^n-(-2)^n}x/5+{2・3^n-3・(-2)^n}/5

先ほどと同様に行列Bを用いて
A^n=(A²-A-6E)B+{3^n-(-2)^n}A/5+{2・3^n-3・(-2)^n}E/5と表される。
A²-A-6E=0なのでA^n={3^n-(-2)^n}A/5+{2・3^n-3・(-2)^n}E/5
よってA^nを(p,q,r,s)として
p=(3^n-2^n)/5
q={3^n-(-2)^n}4/5
r={3^n-(-2)^n}/5
s={4・3^n-5・(-2)^n}A/5

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

candy712さん

編集あり2011/11/119:56:07

行列Aを a=-1 b=4 c=1 d=2とする
A=
(a b)=(-1 4)
(c d)...(1 2)
行列 A^3-A^2-6Aを求めよ。
A^2=
(5 4)
(1 8)

A^3=
(-1 28)
( 7 20)

-6A=-6×
(-1 4)
( 1 2)
=
( 6 -24)
(-6 -12)

(1)
A^3-A^2-6A=
(10 8)
(2 16)

(2)

x^nを多項式x^2-x-6で割ったときの余りを求めよ。
ただしnは2以上の自然数とする。---->わかりません。
(3)
A=
(-1 4)
( 1 2)
行列A^nを求めよ。ただしnは自然数とする
|A-λI|=0
|-1-λ 4|=0
|1 2-λ|
-2-2λ+λ+λ^2-4=0
λ^2-λ-6=0
(λ-3)(λ+2)=0
固有値λ=3、λ=-2
固有ベクトル
λ=3のとき
x1-x2=0
x1-x2=0
x2=1とすると
固有ベクトル
X=x2(1)
.........(1)

λ=-2のとき
x1+4x2=0
x1+4x2=0
x2=1とすると
x1=-4
固有ベクトル
X=x2(-4)
.........(1)

P=
(1 -4)
(1 1)
|P|=1+4=5
Pt=
( 1 1)
(-4 1)

adjP=
( 1 4)
(-1 1)

P^-1=adjP/|P|
(1/5 4/5)
(-1/5 1/5)

D=P^-1AP=
(3 0)
(0 -6)

A=PDP^-1(ここでDは対角行列である。)
A^n=PD^nP^-1=
(1 -4)(3 0)^n(1/5 4/5)
(1 1)(0 -6)...(-1/5 1 )
=1/5×
(3^n(1-2^(n+2)..... 4×3^n(2^n+1))
(3^n(2^n+1).......... -3^n(2^n-4)....)

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