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数列の問題です。教えて下さい!

wea********さん

2011/12/2721:43:53

数列の問題です。教えて下さい!

数列{an}の初項から第n項までの和Snが
4Sn=5an-4n-1(n=1,2,3・・・)
を満たすとき和Snを求めよ。

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ベストアンサーに選ばれた回答

bud********さん

2011/12/2722:14:45

wearedragonballさん

数列の問題です。教えて下さい!

数列{an}の初項から第n項までの和Snが
4Sn=5an-4n-1(n=1,2,3・・・)
を満たすとき和Snを求めよ。

wearedragonballさん

数列の問題です。教えて下さい!...

質問した人からのコメント

2011/12/28 12:26:09

降参 正解です!
ありがとうございました

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not********さん

2011/12/2723:14:56

初項をまず求める。S1=a1 だから、4a1=5a1-4-1
従って、a1=5
4Sn=5an-4n-1 なので、n-1番めに関しては、
4S(n-1)=5a(n-1)-4(n-1)-1
それぞれ両辺を引くと、an=Sn-S(n-1)に注意して、
4an=5an-5a(n-1)-4
即ち
an=5a(n-1)+4
これは、
an+1=5{a(n-1)+1}
見やすくするためにAn=an+1 とすると
An=5A(n-1) で、等比数列で、A1=a1+1=6,
等比数列の和を計算して
ΣAn=6(1-5^n)/(1-5)=3(5^n-1)/2
一方、ΣAn=Σ(an+1)=Σan+n
で、
Σan+n=3(5^n-1)/2
Sn=Σan=3(5^n-1)/2-n (n=1,2,3,....)
でこれが答えである。
因みに、S1=3(5-1)/2-1=6-1=5
S2=3(25-1)/2-2=36-2=34
S3=3(125-1)/2-3=3*62-3=183
で正しいことが検算される。

ko5********さん

2011/12/2721:53:38

4S[n]=5a[n]-4n-1 …①
4S[n+1]=5a[n+1]-4(n+1)-1 …②
②-①より
4a[n+1]=5a[n+1]-5a[n]-4
a[n+1]=5a[n]+4
a[n+1]+1=5(a[n]+1)
①にn=1を代入して
4S[1]=5a[1]-4-1
4a[1]=5a[1]-5
a[1]=5
よってa[1]+1=6より初項6,公比5の等比数列より
a[n]+1=6・5^(n-1)
a[n]=6・5^(n-1)-1
よって
4S[n]=5{6・5^(n-1)-1}-4n-1
=6・5^n-4n-6
S[n]=3/2・5^n-n-3/2

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