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以下の数学の問題を教えてください! 平面において、三角形の各頂点から対辺に...

nep********さん

2011/12/3108:02:04

以下の数学の問題を教えてください!

平面において、三角形の各頂点から対辺に引いた3本の垂線は1点で交わる。内積を用いてこれを示せ。

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kkd********さん

2011/12/3109:02:32

OA⊥BC、OB⊥CAから BA⊥OCを導く。(すると1点で交わることになり、その点が垂心となる。)
→OA=→a
→OB=→b
→OC=→c とあらわすと

→BC=→c-→b
→CA=→a-→c
→AB=→b-→a

OA⊥BCから (→a、→c-→b)=0
(→a、→c)-(→a、→b)=0
だから、(→a、→c)=(→a、→b)・・・・・①
OB⊥CAから (→b、→a-→c)=0
(→b、→a)-(→b、→c)=0
だから、(→b、→a)=(→b、→c)・・・・・②
①、②から
(→a、→c)=(→b、→c)
(→a、→c)ー(→b、→c)=0
(→aー→b、→c)=0
これは、BA⊥OCを示しており、COも垂線

以上

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