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・センター四面体 力だめし

atu********さん

2012/1/1300:42:18

・センター四面体 力だめし

一辺の長さaの立方体ABCD-EFGHの内部に四面体CAFHがある。
四面体CAFHの一辺の長さは、√□a
三角形AFHの面積は、(√(□)/□)a^□
立体ABCFの体積は、(□/□)a^□
立方体ABCD-EFGHは立体ABCFと等しい体積の立体□個と四面体CAFHでできている。
したがって、四面体のCAFHの体積は、(□/□)a^□
四面体のCAFHの高さは、(□√(□)/□)a
辺AHと辺FCを1:2に内分する点をP,Qとすると、PQの距離は、(√(□□)/□)a

補足正答感謝です。PQの距離はベクトルでもよろしいですが。PもQも立方体の側面上の点なので一つの距離a(面の距離)はすぐにわかります。また内分比が同じなので縦方向の距離も底面に垂直な線分の距離として相似比でもとまります。PQは立方体の底面に垂直な平面上の直角三角形の斜辺となります。直角を挟む二辺はaと(1/3)a。したがって、三平方の定理で√{a^2+(a/3)^2}=(√10/3)aですね。
都合上、〆は今夜に。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kur********さん

2012/1/1303:32:01

★四面体CAFHの一辺の長さ
三平方の定理より、一辺を求める

√2a

★三角形AFHの面積
1辺が√2aなので
√2a×√2a×1/2×sin60°

(√3/2)a^2

★立体ABCFの体積
a^2/2×a×1/3

(1/6)a^3

★立方体ABCD-EFGHは立体ABCFと等しい体積の立体□個・四面体CAFHの面積
図を書いてみると分かりやすい。
立体ABFC・AEFH・CGFH・CDAHの4個
したがって、a^3/6×4+四面体CAFH=a^3

4個、(1/3)a^3

★四面体のCAFHの高さ
底面の△の面積は、(√3/2)a^2
高さをhとおくと
(√3/2)a^2×h×1/3=a^3/3

(2√3/3)a

★辺AHと辺FCを1:2に内分する点をP,Qとすると、PQの距離
ベクトルを使ってとくと手っ取り早い。
--------以後ベクトル--------
AD=a、AB=b、AE=cとおくと
AP=(1/3)(a+c)
AQ=a/3+b+2c/3

したがって、
PQ=b+c/3
PQ^2=lbl^2+(2/3)b・c+lcl^2/9
b・c=0であるから、
PQ^2=a^2+a^2/9
PQ^2=(10/9)a^2

PQ=(√10/3)a



計算ミス等あればすいません・・・;;

質問した人からのコメント

2012/1/14 20:09:16

降参 正解です。とても分かり易く回答いただき、ありがとうございました。

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