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射影行列、ホモグラフィ行列、ファンダメンタル行列の違い、求め方などについてお...

lam********さん

2012/1/2819:54:05

射影行列、ホモグラフィ行列、ファンダメンタル行列の違い、求め方などについてお聞きしたいことがあります

2つの画像と特徴点の対応が与えられたとき、まずホモグラフィー行列の求め方にはDLT法があり、他の方法でカメラの内部パラメータが既知のとき8点アルゴリズムを用いてファンダメンタル行列を推定して、エッセンシャル行列を求めそれをHartlrのアルゴリズムで回転要素R,並進tに分解しカメラの要素を求めるというようなものもあると思うのですが、8点アルゴリズムを理解しきれていないというのもありますがこの両者の違いはなんでしょうか?ほかにも5点アルゴリズムというのもあると思うのですが・・・。

またファンダメンタル行列で1方の画像の点を射影すると、射影された点がもう1方の画像のエピポーラ線状のどこかにあるということがわかると思うのですが、それならホモグラフィー行列の方が点と点の対応がわかるのでよい、というかファンダメンタル行列が求められるとどのような利点があるのかがよくわかりません・・・。

あと2つ画像の点の対応から射影行列を求めるにはどのようにすればよいのでしょうか?物体の形状が既知なのかとか内部パラメータの1部が既知とかの条件でいろいろ手法が変わると思うのですが、頭の中で整理が付いていません。

いろいろと混乱してしまっているので質問自体が変なことを言っているかもしれませんがよろしければ回答お願い致します。

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ベストアンサーに選ばれた回答

bor********さん

編集あり2012/1/2822:14:20

昨日の人かな?
捨てアカで質問するのはマルチポスト以上に最悪なんだが。

で、貴方の質問では間違ってないところを探す方が難しい。
バ●だと思われたくなければ、きちんと書籍なり論文なりを読みなさい。

まず、用語の問題
[射影行列] CVではカメラの射影行列を指すことが多い。要するに三次元から二次元への射影変換。
[ホモグラフィ行列] 英語の Homography は射影変換一般を指すことが多いが、カタカナで書いた場合は平面射影変換を指すことが多い。これは二次元から二次元の射影変換。「同一平面上にある」三次元点の投影像を4組使って計算される。この三次元点が「一般の位置にあって同一平面上にない」場合計算が破綻して正しい解が求まらなくなる。
[基礎行列 (ファンダメンタル行列)] ステレオカメラの位置関係を記述する行列。「一般の位置にある」三次元点の投影像のペアを使って計算される。カメラの内部パラメター、位置、姿勢を含んでいる。この三次元点が「同一平面上にあって一般の位置に無い」場合方程式が退化し正しい解が求まらなくなる。8点の組を使う。
[基本行列 (エッセンシャル行列)] ステレオカメラの位置関係を記述する行列で、基礎行列の特殊な形の一つ。カメラの位置と姿勢のみを含んでいる。配置に関する条件は基礎行列と同じだが、より自由度が少ないから5点の組から計算できる。この投影像はカメラの内部パラメターを含まないものを使う。

次に解法の問題。
DLT法ってのは線型方程式を使った解法一般のことだから、平面射影変換だろうが基礎行列だろうが基本行列だろうがDLTはDLTだよ。基礎行列の8点法や基本行列の5点法もDLTと呼ぶことがある。

次にカメラのパラメターを得る話について。
基本行列は基礎行列から計算することもできるが、Hartleyの方法で基本行列を経由するくらいだったら、基礎行列を直接分解して内部パラメターと位置と姿勢を得る金谷の方法の方が良い。
詳しくは「基礎行列の分解」とかで検索すると良い。
で、頭のどこで考えれば平面射影変換と基礎行列を勘違いできるのか。
平面射影変換は正則な変換だから「点と点」の一対一の対応が得られる。
基礎行列は正則な変換じゃないから「点と線」の対応となってしまう。
そもそもこれらはそれぞれを推定するための方程式の形からして全く違う。
片方は点が「同一平面上に無いと駄目で、一般の位置にあると計算が破綻する」、もう片方は「点が一般の位置にないと駄目で、同一平面上にあると計算が破綻する」という正反対の構造なんだが。

最後にカメラの射影行列の話。
これは最も一般的な場合はTsaiの方法を使うと「一般の位置にある座標既知の6点」から計算できる。
が、この方法は古典の古典であまり良くない。
普通はZhangの方法を使って計算する。
OpenCVとかなら数学を全く知らなくても使えるんじゃないかな?

質問した人からのコメント

2012/1/28 22:46:24

降参 めちゃ分かりやすいです。ありがとうございます。
いちよ論文などもよんでいるのですが知識と理解力が足らなすぎて理解できていないです・・・。
またわからないことがあったらお聞きするかもしれませんがよろしくお願いします。

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