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獣医学部の大学生です! 数学の試験範囲の問題が分からなくてとても困っています…...

exe********さん

2012/1/3100:06:51

獣医学部の大学生です!
数学の試験範囲の問題が分からなくてとても困っています…
回答お願い致します!

練習問題
餌の供給をめぐって競い合う2つの種を表すモデルとして dX/dt=aXーcy dy/dt=by-dX
を考える。ここでX、yは2種の個体群を表し、a,b,c,dは正の数である。


問1 Xは d^2X/dt^2 - (a+b)dX/dt + (ab-cd)X =0
を満たすことを示せ。またこの方程式の解は X=Ae^α1t+Be^α2t と表せる事、α1 ,α2のうち少なくとも一つは正であ
ることを示せ。またyに対する解も求めよ。



問2 a=b=2、c=d=1、初期条件をX(0)=300、y(0)=100として一方の種が排除される時間を決定せよ。



問3 異種間の協力モデルとして dX/dt=-2X+4y dy/dt=X-2y が与えられている。
初期個体数がX(0)=300、y(0)=100であるとして、Xとyの振る舞いを調べよ。
t→∞の時はどうなるか。


以上です。 よろしくお願いします。

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pos********さん

2012/2/621:39:37

問1
微分の記号と定数dが紛らわしいので、時間微分は、『’』で示すことにする。
X’=aX-cY・・・①
Y’=bY-dX・・・②

①をtで微分すると、 X''=a・X’-c・Y’
これに②を代入する。
X''=a・X’-c・(bY-dX)・・・③

①にbをかけると、b・X’=ab・X-cb・Y
これから、cb・Y=ab・X-b・X’

これを③に代入すると、
X''=a・X’-ab・X+b・X’+cd・X
整理して、
X''-(a+b)・X’+(ab-cd)・X=0

d^2X/dt^2 - (a+b)dX/dt + (ab-cd)X =0
が導けた。

これの特性方程式は、
λ^2-(a+b)λ+(ab-cd)=0
この式の根は、
λ=[(a+b)±√{(a+b)^2-4(ab-cd)}]/2
√内は、a^2+b^2-2ab+4cd=(a-b)^2+4cd>0

二つの根を、α1、α2とすると
α1+α2=a+b
α1・α2=ab-cd
より、ab≧cdの場合、2根とも共、
そうでなければ一つが正である。

従って、微分方程式の解は、
X=A・e^(α1・t)+B・e^(α2・t)
と表せる。

Yは、
cb・Y=ab・X-b・X’
=ab・{A・e^(α1・t)+B・e^(α2・t)}-b・{A・α1・e^(α1・t)+B・α2・e^(α2・t)}
=(ab・A-b・A・α1)・e^(α1・t)+(ab・B-b・B・α2)・e^(α2・t)

故に、Y={(ab・A-b・A・α1)・e^(α1・t)+(ab・B-b・B・α2)・e^(α2・t)}/cb


問2
a=b=2、c=d=1、を代入すると(α1≧α2とする)

α1=[(a+b)+√{(a+b)^2-4(ab-cd)}]/2={4+√{4^2-4(4-1)}/2=3
α2=[(a+b)-√{(a+b)^2-4(ab-cd)}]/2={4-√{4^2-4(4-1)}/2=1

X(t)=A・e^(3t)+B・e^(t)
Y(t)={(4・A-2・A・3)・e^(3t)+(4・B-2・B・1)・e^(t)}/2
=-A・e^(3t)+B・e^(t)

初期条件、X(0)=300、Y(0)=100より、
X(0)=A・e^(3・0)+B・e^(1・0)
=A+B=300
Y(0)=-A・e^(3・0)+B・e^(1・0)
=-A+B=100

これから、A=100、B=200

X(t)=100・e^(3t)+200・e^(t)
Y(t)=-100・e^(3t)+200・e^(t)

tが増加するにつれ、Y(t)は減少する。
Y(t)=0となるtは、
100・e^(3t)=200・e^(t)、つまり、
e^(2・t)=2・e^(t)のときで、対数をとると、
2・t=ln(2)+t

t=0.693という時間。


問3
(略)
以上と同様に微分方程式を解けばよい。

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