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x^2+y^2<1の点集合をSとするとき、x^2+y^2=1上の点は集合Sに関して集積点ですか?...

shi********さん

2012/3/3017:14:33

x^2+y^2<1の点集合をSとするとき、x^2+y^2=1上の点は集合Sに関して集積点ですか?

また、x^2+y^2≦1の点集合をTとするとき、x^2+y^2=1+ε上の点はTに関して集積点ですか?
大学数学の予習

でちょっとこんがらがってきました…

補足なるほど、よくわかりました!
もう一つ質問ですが、x^2+y^2≦1の集積点はどこになるのでしょうか。
やはり、x^2+y^2=1上の点でしょうか?

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clickyさん

編集あり2012/3/3019:16:19

※添付した図を参照してください。この図では、黒丸が点P、赤丸が点Qです。

x^2+y^2<1の点集合をSとするとき、x^2+y^2=1上の点は集合Sに関して集積点です。
x^2+y^2=1上の点Pの任意の近傍を取ったときに、点Pを除外しても、x^2+y^2<1の点を含むからです。

x^2+y^2≦1の点集合をTとするとき、x^2+y^2=1+ε (ただし∃ε>0) 上の点はTに関して集積点ではありません。
その理由は、0<δ<√(1+ε)-1 という正数δを取って、x^2+y^2=1+ε (ただし∃ε>0) 上の任意の点Qのδ-近傍を考えると、x^2+y^2≦1の点を含まないから、点QはTに関して集積点ではありません。

【補足】にお答えします。

x^2+y^2≦1 の集積点は x^2+y^2<1 と同じく、x^2+y^2=1 上の任意の点だけではありません。 x^2+y^2<1 という点集合と x^2+y^2=1 という点集合の和、すなわち、x^2+y^2≦1 の集積点全体は自分自身です。

(また、誤解無きように書いておきますが、) 同様に
x^2+y^2<1 の集積点全体は x^2+y^2≦1 を満たす点集合です。

※質問本文と質問補足では、必要条件と十分条件という違いが有ります。

※添付した図を参照してください。この図では、黒丸が点P、赤丸が点Qです。...

質問した人からのコメント

2012/3/30 20:45:31

わざわざ図まで載せていただき有り難うございました。
x^2+y^2<1の集積点もx^2+y^2≦1の集積点も同じx^2+y^2≦1の点集合である、ということでよろしいでしょうか。
もう少し、じっくり考えてみます。もし分からないことがあればまた質問しますのでそちらでも回答していただければ幸いです。

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