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折り紙で作るコッホ曲線を考えました。フラクタル図形と投与した力学的エネルギー...

not********さん

2012/4/319:21:05

折り紙で作るコッホ曲線を考えました。フラクタル図形と投与した力学的エネルギーの関係を求める簡易なモデルです。

フラクタルは物理学より数学のカテゴリーの方が相応しいと思いまして、こちらのカテゴリーに質問をアップさせていただきました。ご意見、ご感想などいただければありがたいです。

【1】折り紙を切り取ってコッホ曲線を作る操作
1辺がLの正方形の折り紙を用意します。ある1辺をイニシエータとします。その辺を三等分し、中央の線分を底辺にし正三角形を書きます。書いた2辺をハサミで切り取ります。辺の残りと切り取り線でコッホ曲線のジェネレータができました。次に長さが1/3倍の4つの辺で同じように、1辺を三等分し中央の線分を底辺にし正三角形を切り取ります。スッテプ2の形ができました。その操作を繰り返し続けると、折紙の切り取り線としてコッホ曲線が現れます。茶色の折り紙を切り取って、水色の折り紙の上に重ね合わせると、いかにも海岸線らしくみえます。
切り取り線はトポロジカルな次元が1で普通の線に思えます。切り取り線のコッホ曲はフラクタルでその次元はs=log34と考えていいでしょうか。以下では、フラクタル図形であるとみなすことにします。

【2】コッホ曲線の全長と投与したエネルギーの関係
ステップnまでのコッホ曲線を作るのに要した人間の手作業の力学的エネルギーの総合計をWで表します。ここで、ハウスドルフ測度は、Hδs(An)=L^s・n=Wを仮定します。各生成工程でoutputされた形をすべて被覆する考え方で計算した測度です。ステップ毎に必要なエネルギーは一定値でL^s=W/nになります。
コッホ曲線の長さはステップ毎に指数的に増加しますので、逆に単位長さを切るのに必要なエネルギー(=wiとする)が指数的に減少しないと、一定値L^sになりません。ステップiのコッホ曲線は全長L(4/3)^iの半分が、新しく切り取った長さです。よって、

L^s=wi×(1/2)×L(4/3)^i
∴wi=2(L^s/L)(4/3)^-i

が要請されます。

人間は同じ作業を続けるとスキルが上がって、単位長さを切り取るのに要するエネルギーがだんだん少なくなるという、文学的て曖昧な理屈づけしかできません。

板をノコギリで切り取って同じことをすると、帯のような2次元の「コッホ曲面」が現れます。それもフラクタルで次元はlog34でしょうか。津波が岩盤を切り取って海岸線をギザギザにしたとします。岩盤の増えた断面積を測定したら、津波の作用したエネルギーを推計できないでしょうか。

以上です

補足ご意見ありがとうございます。私の知識がなく仰る意味が理解できないです。私はフラクタルに物理的概念であるエネルギー、質量、密度を定量的に持ち込みたいと思っています。折り紙のモデルはその一つです。定量化できれば、フラクタルがダイナミックで現象の世界により接近した理論になると思います。フラクタルは縮小写像が基本ですが、幾何学だと密度を表現することができないので、現象の世界とズレが生じてしまう気がします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

lla********さん

編集あり2012/4/420:30:49

クレセロ・ジャッフンーの仮説が元になっていますね。
ケウェーウの論文が好きな私としては、あなたの考えはナハウ的にも見えますが
ひとつ言うとすれば、次元論の部分へロッキンスマールの仮説の中にあるハユイ方程式を取り入れるといいかも知れません。


補足
分かりました真面目に答えます
おまえはルー大柴か!トポロジカルWWトポロジカルWW

言いたいことは単純なのに、大学で習った大量の専門用語を使って秀才ぶりたいだけに見えます。
「コッホの三角形を紙とハサミで作ることを考え、フラクタルってるギザギザを切るのに使ったエネルギーを式で表せば、津波が海岸を削り取った表面積から津波のエネルギーの逆算などに応用できるのでは」

きっと質問者様はもっと難しいことをたくさん考えているでしょうが、知恵袋で何が収穫があるとは思えませんよ。

質問した人からのコメント

2012/4/5 07:37:42

いろいろアドバイスありがとうございます。ルー大柴ってかっこいいイーメジです。秀才じゃないんです。「ちゃんと勉強して数学、物理の基礎学力をアップしなさい。ローマは1日にしてならずぢゃ!」と先生に再三怒られてます。昨年末、初めてこのサイトに質問した時、レスポンスの速さ、ハイレベルの回答内容に驚愕しました。私にはとても有意義なサイトです。同じようなモデルをカントール集合、ギャスケットについて考案中です。

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