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半径6の半球S,底面の半径6、高さ6の円錐Cが水平な面(水平な板で連想下さい。...

eag********さん

2012/4/1121:12:34

半径6の半球S,底面の半径6、高さ6の円錐Cが水平な面(水平な板で連想下さい。)と垂直になるよに置かれている。 水平な面からの高さ3である平面で半球を2つの部分に分けるとき、大きい方の体積を求めよ。

演習問題には、水平な板の上に半円球S(切り口が上)と円錐Cの2つが図に描かれています。

解答が相違してしまいます。円錐をどのように活用し導くのか判りませんが?よろしかったらご教授願います。

補足半球の高さhの円
半径=√27、面積=27π
円錐の高さhの円
半径=3、面積=9π
27π+9π=36π
36πは円柱の高さhの円となる。
h3の円柱体積-h3の逆さまの円錐体積=半球をh3で分け大きい方の体積
36π×3=108π
1/3π×3×3×3=9π
108π-9π=99π
図で考えるとhで二分し、円錐と半球の上下で面積は違います。置き方の組み合わせが4通りあり何故このような組み合わせで考えるのでしょうか?

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yao********さん

編集あり2012/4/1322:08:32

半球の切り口が底面,円錐がV上に立っているものとします。

水平の面からの高さがhである平面で切った切り口を考えます。
半球の方は,半径が √(6^2-h^2) の円で,面積は π(36-h^2) です。
円錐の方は,半径が h の円で,面積は πh^2 です。
両者の和は,36π で一定です。
したがって,高さがHより下の部分の体積の和は,半径が6,高さがHの円柱の体積と同じです。
半球の方の体積は,円柱の体積から,円錐の方の体積(小さい円錐)を引いた値になります。

------------------------------------------------
半球を∩,円錐をV のように置くと,どの高さで切っても 円柱□ と同じ面積になります。
もちろん,半球を∪,円錐を∧ のように置いても同じです。
∩と∨の方が面積をhで表しやすいので,そうしました。

質問した人からのコメント

2012/4/18 02:51:29

ありがとうございました。

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