ここから本文です

ラプラス変換の問題です。次の微分方程式をラプラス変換してください。

lot********さん

2012/4/2623:45:54

ラプラス変換の問題です。次の微分方程式をラプラス変換してください。

dx^2/dt^2+3dx/dt+2x=u(t) , x(0)=2 x'(0)=1 ただし、u(t)= 0 t<0 or 1 t≧0

可能なら検算のやり方も教えていただきたいですが、なくても大丈夫です。
よろしくお願いします。

閲覧数:
206
回答数:
1
お礼:
50枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

vel********さん

2012/4/2810:47:56

まず、ラプラス変換の公式を列挙しますよ!ラプラス変換を『L』で表すとします。

L[f’’(t)]=s^2F(s)-f(0)s-f’(0)
L[f’(t)]=sF(s)-f(0)
L[u(t)]=1/s


dx^2/dt^2+3dx/dt+2x=u(t)をラプラス変換します。f(t)=x(t)とすると、これのラプラス変換F(s)=X(s)となります。
(s^2X(s)-2s-1)+3(sX(s)-2)+2X(s)=1/s
(s^2+3s+2)X(s)=1/s-2s+7
(s+1)(s+2)X(s)=1/s-2s+7
両辺(s+1)(s+2)で割ります。
∴X(s)=1/{s(s+1)(s+2)}-2s/{(s+1)(s+2)}+7/{(s+1)(s+2)}←部分分数展開します。
=1/2・{1/s-2/(s+1)+1/(s+2)}-2・{-1/(s+1)+2/(s+2)}+7・{1/(s+1)-1/(s+2)}
=1/2・(1/s)+6/(s+1)-11/2・1/(s+2)

これを逆ラプラス変換すると、
∴x(t)=1/2・u(t)+6・e^(-t)-11/2・e^(-2t)

検算方法は、x(t)の1回微分x’(t)と2回微分x’’(t)を求めて、
x’’(t)+3x’(t)+2x(t)=u(t)
の式に代入して両辺が成立すれば、解x(t)が正しいことになります。


途中計算で係数にミスがあるかもしれませんが、解き方はこんな感じです。

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる