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数学で解けません

yuk********さん

2012/5/1021:27:53

数学で解けません

1/2 ∫ 1/x^2+1・dx で1から無限大まで変化まで変化させます。

最終的に、x=tanθとして置換積分を用いて
2 ∫ cos^2θ・1/cos^2θ・dθ 1から無限大まで変化 というところまで
きました。

しかし、ここからどうすればよいのかわかりません

2∫θ・dθ となって、なぜこれが 2[アークtanx] 1から無限大まで変化に
なるのかもわかりません

この二点について教えてください

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ベストアンサーに選ばれた回答

meg********さん

2012/5/1603:14:09

1+tanθ^2=1/cosθ^2 を利用して、計算を楽にしようとしています。

(参考)
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1452670369

x=tanθと置換すると
1/(x^2+1)=1/(1+tanθ^2)=cos^2θ

また、dx/dθ=d(tanθ)/dθ=1+tanθ^2=1/cos^2θ

(参考)中ほどの、「三角関数の微分」参照
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E...

dx/dθ=1/cos^2θより、dx=1/cos^2θ・dθ

∴1/2 ∫ 1/x^2+1・dx=1/2 ∫cos^2θ・1/cos^2θ・dθ
=1/2 ∫1・dθ
=1/2 [θ] (定積分)

ここで、θの範囲は、1から無限大ではありません。
tanθが1から無限大の範囲を取るための、θの範囲となります。

それがいくらかは、御自身で考えてみてください。

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