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集合の問題で教えて欲しい問題があります❗ 3種類の検査を83人の人にしたところ、A...

azu********さん

2012/5/1819:13:29

集合の問題で教えて欲しい問題があります❗
3種類の検査を83人の人にしたところ、Aに55人、Bに60人、Cに58人が合格した。
またAとBに41人、BとCに45人、CとAに42人が合格した。
いずれの調査にも不合格の人は6人で

あった。すべての調査に合格した人を求めよ。
という問題です。
要素が増えて急にわからなくなりました。
集合の問題を解く時のコツも教えてもらえると助かります。
よろしくお願いします

閲覧数:
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回答数:
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お礼:
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ベストアンサーに選ばれた回答

kil********さん

2012/5/1820:41:23

まず、この手の問題は、
「少なくとも1つの検査に合格した人」について考え始めます。

これを合格者数とすると、
合格者数=A合格者数+B合格者数+C合格者数-AB合格者数-BC合格者数-CA合格者数+ABC合格者数
です。
「合格者数」は、「全体」-「どれにも不合格な人の数」であることに注意し、あとは、ABC合格者数について解くと、
ABC合格者数
=全体-不合格者数-A合格者数-B合格者数-C合格者数+AB合格者数+BC合格者数+CA合格者数
=83-6-55-60-58+41+45+42
=32
となることが分かります。
また、
「ABの少なくとも1つを合格した人の数」などが聞かれる場合も、
=A合格者数+B合格者数-AB合格者数 -※①
と分解して上式に代入して考えると、必ず求める数について解くことができます。
基本となる上式
AUBUC=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
はすぐに式化できるように、直感的に理解しておいた方がいいと思います。

例えば、AUBUCは、添付画像の左図の領域ですが、
この値を求めようと、A+B+Cをすると、
右図のように、A∩B、B∩C、C∩Aの部分が2段に、
A∩B∩Cの部分が3段になってしまいます。
つまり、重複して足している箇所があるのですね。
その分を解消するために、今度はA∩B、B∩C、C∩Aをそれぞれ引いて、
A+B+C-A∩B-B∩C-C∩Aとすると、今度はA∩B∩Cの部分が3回引かれ、真ん中に穴があいてしまいます。それを埋め合わせる為に、最後にA∩B∩Cを足して、
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
となることが、感覚的に理解できると思います。
また、○が2つの場合(※①が成り立つこと)も、同様の想像で理解できます。

まず、この手の問題は、
「少なくとも1つの検査に合格した人」について考え始めます。...

質問した人からのコメント

2012/5/18 20:51:06

降参 図を使って説明していただきとてもわかりやすかったです
ありがとうございました

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