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チェバの定理の質問です。 三角形ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点D、E、...

ucc********さん

2012/5/2119:07:29

チェバの定理の質問です。


三角形ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点D、E、Fがあって、AD、BE、CFが1点Pで交わるとき、BD/DC×CE/EA×AF/FB=1であることを、Aを通りBCに平行な直線とBP

、CPの延長との交点をそれぞれB'、C'と置くことにより証明せよ。

です。

平行線なので錯角を考えて
相似な三角形を作って頑張ってみましたがどうもできません。

よろしくお願いします。

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idl********さん

2012/5/2119:28:10

△AB'E∽△CBEからAB':BC=AE:CE→AB'=(BC*AE)/CE・・①
△AC'F∽△CBFからAC':BC=AF:BF→AC'=(BC*AF)/BF・・②
△AB'P∽△BDPからAB':BD=AP:DP・・③
△AC'P∽△CDPからAC':CD=AP:DP・・④
③④から、AB':BD=AC':CD→AC'/AB'=CD/BD・・⑤
①②から、AC'/AB'=(AF*CE)/(AE*BF)・・⑥
⑤⑥から、CD/BD=(AF*CE)/(AE*BF)
(AF*CE*BD)/(AE*BF*CD)=1
∴BD/DC×CE/EA×AF/FB=1

質問した人からのコメント

2012/5/21 21:52:35

ありがとうございました( ^^)/

わかりやすかったです!

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