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e^(1/2)の近似値を、有限マクローリン展開を用いて求めよ、また誤差を簡単に評価せ...

max********さん

2012/5/2323:34:19

e^(1/2)の近似値を、有限マクローリン展開を用いて求めよ、また誤差を簡単に評価せよ。(e^xを用い、マクローリン展開の際はx^5までの項だけでよい)
という問題を解いてみたので答え合わせをしてください。

e^xをx^5の項までマクローリン展開は

e^x=1 + x + x^2/2 + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! + R(θ)
(ただし、R(θ) = x^6 * e^(θx)/6! であり、0<θ<1 、 R(θ)は誤差である)

e^1/2の近似値は、

e^1/2=1 + 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/384 + 1/3840
=1.648697917
である。

そして誤差は、

e^(1/2*θ)/6!*2^6 < (e^1/2)/6!*2^6 < (3^1/2)/6!*2^6 = 0.1539600718

(∵0<θ<1、e<3)

であるから、、 0.1539600718 より小さい。


まだ大学で習ったばかりで知識をどう使ってどう記述すればいいのかわかりません。なので書き方も含め指導してくれるとありがたいです。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

hai********さん

2012/5/2405:24:32

書き方はそれで大丈夫ですが、計算ミスです。誤差の評価は

|R(θ)|
= 1/6! e^(1/2 θ) (1/2)^6
< e^(1/2)/(6! 2^6)
< 3^(1/2)/46080
< 1.74/46000
< 3.79×10^(-5)

くらいになります。

質問した人からのコメント

2012/5/24 06:41:23

たしかに計算ミスしてました・・・

ご丁寧にありがとうございました。

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