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数学の問題です!

yu_********さん

2012/5/2714:01:50

数学の問題です!

(1)a-1<2x-1<4+x を満たす整数がちょうど2個存在するような定数aの値の範囲を求めよ。

(2)2次方程式 x2-4x+3a-1=0 (xの後ろの2は2乗のことです)が実数解を持つような定数aの解の範囲を求めよ。


の2問です。
答えだけではなく解き方を教えていただけると嬉しいです。

よろしくおねがいします。

補足(2)について、すでに判別式を使ったやり方を回答していただきましたが、もし、ほかのやりかたがあれば教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ma_********さん

編集あり2012/5/2718:51:19

補足追加しました。
(1)
まず、与式より
a-1<2x-1…①
a-1<4+x…②
2x-1<4+x…③ とします。

そして、①~③までそれぞれ解くと
①は、a/2<x…④
②は、a-5<x…⑤
③は、x<5…⑥ となります。

ここで、Ⅰ)a/2<a-5…⑦の場合 と、
Ⅱ)a-5<a/2…⑧の場合
に場合分けをします。

そうすると、
Ⅰ)のときa-5<x<5、
Ⅱ)のときa/2<x<5
の範囲でxが2つの実数解をもつこととなります。
つまり、xは5より小さい3、4の2つ実数解をもつということより、
(以降、<=の記号は小なりイコールをあらわします)

Ⅰ)は2<=a-5<3…⑨のとき、
Ⅱ)は2<=a/2<3…⑩のときにこれを満たすということ。よって、aの範囲に注意しながら解くと、
Ⅰ)でのaの範囲は⑦より10<a、
⑨をとくと7=<a<8 となりこれはaの範囲を満たす。
Ⅱ)でのaの範囲は⑧より10>a、
⑩をとくと4<=a<6となりこれはaの範囲を満たさないので、不可。

よって、答えは7<=a<8。
※場合分けが分かりにくかったら数直線を書いたらすぐにわかりますよ。

*補足*
(2)※字数のため判別式での解答は消します。

x2-4x+3a=0…☆の式を平方完成します。
すると(x-2)2+3a-5=0…① となります。

①より☆の方程式は下に凸で軸にx=2をもち最小値(2,3a-5)をもつグラフとなります。

よって最小値が実数解=3a-5>=0…②となるとき☆の方程式は必ず実数解をもつので、

②をとくとa>=5/3となります。

質問した人からのコメント

2012/5/27 19:58:37

答えが違っていますがとりあえず、回答を参考に、解くことが出来ました。(範囲を満たしていないのは⑨をとくと、、、のほうでは?)ありがとうございました。

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