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Gを群、a∈Gとするとき、写像f_a:G→G,x|→ax^-1が全単射になることを証明してくださ...

about_sai_kyoさん

2012/5/2800:06:15

Gを群、a∈Gとするとき、写像f_a:G→G,x|→ax^-1が全単射になることを証明してください。

よろしくお願いします!

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カテゴリマスター

2012/5/2800:38:10

(1) 全射であること
任意の y∈G にたいして
x = y^(-1)a をとると
f(x)
= a{y^(-1)a}^(-1)
= aa^(-1)y
= y
よって、fは全射である。

(2) 単射であること
f(x) = f(y) のとき
ax^(-1) = ay^(-1)
両辺の左からa^(-1)を演算して
x^(-1) = y^(-1)
両辺の左からyを、右からxを演算して
yx^(-1)x = yy^(-1)x
y = x
よって、fは単射である。

質問した人からのコメント

2012/5/30 11:33:44

降参 ありがとうございました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2012/5/2800:32:41

まず、x, yがGの任意の元で、f_a(x)=f_a(y)を満たすものとすると
ax^(-1)=ay^(-1)
x^(-1)=y^(-1)
x=y
よって、f_aは単射です。


また、yをGの任意の元とするとき
x=yaとおくと、x∈Gで
f_a(x)=a(ya)^(-1)=aa^(-1)y=y
よって、f_aは全射です。

以上から、f_aは全単射です。

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