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円順列はなぜ固定して考えるのですか。

mjd********さん

2012/7/1503:41:36

円順列はなぜ固定して考えるのですか。

補足固定して間違いにならないのはなぜですか。

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ベストアンサーに選ばれた回答

doc********さん

編集あり2012/7/1718:55:17

円形に並んだものを『外からでなく中から』見ると、どの席から見ても見え方が変わらないからです。
普通の順列の場合、例えば ABC の順列を外から見ると、全部で 6 通りの『見え方』があります。
これを、並んだ当事者の A から見たとしますと、上記の 6 通りのすべてに自分が登場しているわけですから、
『自分から他の2人を見たときの見え方の総数』
と、
『外から全体を見たときの見え方の総数』
とは一致するはずですね。
実際、自分が右端にいるときは、他の2人は自分の左にいて、
その見え方は 2 !
自分が真ん中あるいは左端にいるときも同様で、
その見え方は 2 !
結局全部で、3 × 2 ! = 3 !
となり、先の結果に一致します。

さて、円順列の場合は普通の順列と異なり、どの席にいても他の席の見え方はすべて同じになります。
先の簡単な例では、A から見るとすべて斜め前方の左右に誰かがいるわけですね。
つまり、円順列の場合は、A の位置に依らず見え方は 2 ! というわけです。
固定するというのは、なにも円順列に限らないことで、実際先の例でも A の位置を固定して普通の順列を考えましたね。
ただ、それだと面倒臭いので、普通の順列の場合は固定しないというだけです。

ところで、先の例では私は A だけの視点で考えました。
B から見ても同じことが言えるのですが、それはもはや考える必要がないことはお分かりでしょうか。
何故なら、前述のように A は『すべてに登場していて』
それは
『漏れなく』
数えていることを意味し、
またすべてが異なった見え方になるということが
『重複なく』
数えていることを意味するからです。
もちろん B からの見え方も別にあるのですが、それらはすべて A の視点に含まれているわけです。
数えるときの大原則である
『漏れなく』
『重複なく』
の重要さが実感できる例ですよね。

いささか話が長くなりましたが、お分かりいただけたでしょうか。

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ベストアンサー以外の回答

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new********さん

編集あり2012/7/1504:34:18

物事を考えるには、基点(起点)が重要になります。
固定しないで考えても正しく考えることができれば正解できるのですが、あえて固定することによってその固定した部分以外が順列となって、公式を用いることができるということです。

結論を述べるなら、
固定することによって、考えやすくなり、また公式を用いることができるから。

といったところじゃないでしょうか。



補足についてです。
少し説明をしづらいのですが、「固定して間違いになる」というわけではなく、「固定すると(たとえば、組み合わせの総数などが)公式を用いることができる」ようになるので、あっていることを前提にして円順列の公式は作り出されました。
「円順列の公式」といっても、これは「順列の公式に基づいて、順列だけではなく円形に並べたときも公式で計算できるように”順列の公式を拡張”した」といったところなのです。
これは例をあげて考えたら、少し納得しやすくなるとおもうのですが、頭にすっと入らない場合は逆に考えを複雑にしてしまうので、次に出す例題でピンとこなかったら見なかったことにして、例題のことは忘れてください。へたに考えてしまうと、文章だけの説明なので微妙なニュアンスの部分が伝わりきらなくて、かえってややこしくなってしまいますので・・・

(例)
A,B,C,D,Eの5人を円卓に座らせるときの組み合わせの総数。
Aを固定して考える。
すると、A以外の4人が列になって並ぶ、並び方の総数を求めるので、

A(←固定させる)-(4人を並べる)
A-4!、より
4!=24通り、となります。

組み合わせの総数を求める場合はこれでいいのですが、少しなぜこの公式でいけるのかを考えて見ましょう。
ここでひとつ具体的な例を出してみましょう。
並び方が、A-B-C-D-Eの場合
(※文章で書いているので順列に見えますが、AとEは隣り合っている席に座っているとイメージしてください)
これはAを固定して、B-C-D-Eと4人が並んだ場合にこのような席順になるのはわかりますよね?
そしてBを固定した場合
B-C-D-E-Aと並んだら・・・
Bを固定して考えているにも関わらず、5人の並び順はAを固定して考えたときと同じ並び順になってしまい、重複してカウントしてしまうことになります。
ですので、円順列の総数を求めるときには、固定するのは1回(この場合はAさん固定の場合のみ)だけでいいのです。

うまく伝わっているか自信はありませんが、これでいかがでしょうか?

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