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nは3以上の自然数。さいころをn回投げるとき、1の目がちょうど3回出る確率をP...

cin********さん

2012/8/1022:52:51

nは3以上の自然数。さいころをn回投げるとき、1の目がちょうど3回出る確率をPnとする。
(1)Pn+1÷Pn>1を満たすnの最大値を求めよ。A,16
(2)Pnが最大のときのnは? A、n=17、18
解き方を

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ベストアンサーに選ばれた回答

bli********さん

2012/8/1023:23:03

こんばんは
確率ですね

サイコロをn回投げるとき1の目がちょうど3回出るのはnC3
したがってPn=nC3*5^(n-3)/6^n ・・・①

(1)
Pn+1÷Pn>1
⇔Pn+1>Pn

①より
(n+1)C3*5^(n-2)/6^(n+1)>nC3*5^(n-3)/6^n
⇔{(n+1)n(n-1)/6}*5^(n-2)/6^(n+1)>{n(n-1)(n-2)/6}*5^(n-3)/6^n
⇔(n+1)*5>6(n-2)
⇔5n+5>6n-12
⇔17>n

これを満たす最大のnは16

(2) Pnが最大
つまり
Pn+1≦PnかつPn≧Pn-1

Pn+1≦Pnは前問と同様に(不等号の違いだけ)
17≦n

Pn≧Pn-1はn=m+1とおくと
Pm+1≧Pm、これも前問と同様に
17≧m
∴17≧n-1
⇔18≧n

つまり
17≦n かつ 18≧n
したがってこれを満たすnは17,18

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

abc********さん

2012/8/1023:22:12

nCk = n!/k!(n-k)!

----
(1)
P[n] = nC3*(1/6)^3*(5/6)^(n-3)
P[n+1] = (n+1)C3*(1/6)^3*(5/6)^(n-2)

P[n+1]/P[n] = (n+1)!/3!(n-2)!*(5/6)^(n-2) ÷ n!/3!(n-3)!*(5/6)^(n-3)
P[n+1]/P[n] = (n+1)!/(n-2)!*(5/6)*(5/6)^(n-3) ÷ n!/(n-3)!*(5/6)^(n-3)
P[n+1]/P[n] = (n+1)!/(n-2)!*(5/6) ÷ n!/(n-3)!
P[n+1]/P[n] = (n+1)!/(n-2)!*5 ÷ n!/(n-3)!*6
P[n+1]/P[n] = 5(n+1) / 6(n-2)

5(n+1) / 6(n-2) >1
5n+5>6n-12
-n>-17
n<17
nは自然数より、
n=16

----
(2)
(1)と同様に、
P[n+1]/P[n] = 1 のとき、
n=17

P[n+1]/P[n] < 1 のとき、
n>17

よって、
P[3]<P[4]<…<P[15]<P[16]<P[17]=P[18]>P[19]>P[20]>…
となるから、
最大となるのは、
n=17、18

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