ここから本文です

先日の質問で理解できなかったところを補足させていただきます。

アバター

ID非公開さん

2012/8/3021:32:36

先日の質問で理解できなかったところを補足させていただきます。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1393141138
↑上記の質問にお答えいただいたものです。
解答中でわからないところが頻発したので、よろしければ教えていただけないでしょうか。

(4)の問題となります。
5x^2 + 8xy + 5y^2 – 9 = 0 --- ①

判別式=64 – 4・5・5 = -36 < 0
したがって、軌跡は楕円である。
この楕円は長短径の軸がx,y軸と一致していない。 座標軸回転をし、クロス項を抹消する。
その回転角度をαとすると、
tan 2α= 8/(5 – 5)
∴2α= π/2 ⇒ α= π/4

x = Xcosα- Ysinα= (1/√2)(X – Y)
y = Xsinα+ Ycosα = (1/√2)(X + Y)
として、式①へ代入すると、

(5/2)(X – Y)^2 + (8/2)(X – Y)(X + Y) + (5/2)(X + Y)^2 – 9 = 0
9X^2 + Y^2 = 9
X^2 + Y^2/3^2 = 1

(x,y)座標を反時計方向へπ/4回転した座標(X,Y)でX軸に短径Rmin=1,
Y軸に長径Rmax=3をもつ楕円である。

==============================================
わからない点
①この楕円は長短径の軸がx,y軸と一致していない。 座標軸回転をし、クロス項を抹消する
これはいったいどういうことなのでしょうか?どのような方針で解いていくのでしょうか?
その後の解答の流れもよくわからないので、解説していただけると助かります。

補足x = Xcosα- Ysinα= (1/√2)(X – Y)
y = Xsinα+ Ycosα = (1/√2)(X + Y)
これはどこから出てきているのでしょうか?

この質問は、cle********さんに回答をリクエストしました。

閲覧数:
155
回答数:
1
お礼:
25枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

cle********さん

リクエストマッチ

編集あり2012/8/3123:16:03

例えば楕円の方程式は
x^2/a^2 + y^/b^2 = 1 --- ①
と表されます。 このような式では、長軸、短軸はx軸、y軸と一致しています。
ところが、式の中にクロス項(xy項)があると、式①の形式には変形できません。これでは長軸、短軸の大きさが分かりません。
クロス項を消去するには何らかの座標変換方式が必要となります。

楕円の式①を原点の周りに回転すると、座標が変換されるのでクロス項があらわれます。
このクロス項があらわれないように座標軸を回転すれば、見慣れた楕円の式が得られ、長軸、短軸のサイズが明確に求められます。

このクロス項があらわれなくする回転角度がαで、その求め方は備考欄に記した
tan2α = B/(A - C)
です。
角α回転すると、元の座標(x,y)と回転後の座標(X,Y)との関係が、
x = Xcosα - Ysinα
y = Xsinα + Ycosα
です。 この式をクロス項の含まれる元の式に代入して変換すると
クロス項の消去された楕円の式が得られ、長軸、短軸のサイズが明らかに求められます。


(補足へ)

座標を回転する手法です。
座標(x,y)を極座標(r,θ)で表すと、
x = rcosθ
y = rsinθ
で表されますが、これを角αだけ回転すると、
x = rcos(θ + α) = rcosθcosα - rsinθsinα
y = rsin(θ - α) = rcosθsinα + rsinθcosα
となります。
ここで、右辺において改めて、rcosθ = X, rsinθ = Yとおけば、
x = Xcosα - Ysinα
y = Xsinα + Ycosα
となります。
α=π/4であるから、sinα = cosα = 1/√2となり、
代入すればこの式になります。

以上

アバター

質問した人からのコメント

2012/9/1 01:56:20

感謝 どうもありがとうございましたo(^▽^)o

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる