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線形とはなんでしょうか? フラクタルは線形と考えていいでしょうか?

sho********さん

2012/9/909:04:41

線形とはなんでしょうか?
フラクタルは線形と考えていいでしょうか?

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pla********さん

2012/9/910:17:41

線型とは
f(x+y)=f(x)+f(y), f(αx)=αx
が成立する関係です。一番簡単なのはy=axという関数です。
ちなみにy=ax+bは
f(x1+x2)=a(x1+x2)+b≠ax1+b+ax2+b=f(x1)+f(x2)
ですから、y=ax+bは線型ではありません。ベクトルに行列をかけて別のベクトルを作る
y↑=Ax↑
は線型です。ここでAは行列、x↑、y↑はベクトルです。

フラクタルとは何だというと話は長くなりそうですが、簡単な例を挙げます。
たとえば川の長さを測るとか、国境線の長さをはかるとき縮尺の小さい(=縮尺分母が大きい=粗い)地図ではかると短くなります。もう少し丁寧にいえば、ある棒の長さをrとしてこれを何回もあてて距離を測ったとして、rN=Lを長さとすればrが長いほど細かい出入りは無視されて短い距離になるわけです。もし長さを測る対象が直線ならば当然
N∝1/r
になります。しかし、細かい出入りのある線だと、
N∝r^(-D)
となります。rが小さくなればなるほどNの個数はrに反比例する以上の速度で増大します。ここでDがフラクタル次元です。このときLは
L=rN∝r*r^(-D)=r^(1-D)
となります。この式ではrが短いほどLが長くなり、r→0で発散です。逆にD=1ならLは一定値で測定値は使ったrの長さに依存しません。
例えばスペインとポルトガルの国境線の長さはスペインが987 kmといい、ポルトガルが1214 kmと言いますがそれははかる単位物差しの長さの違いに帰着されます。これは国境線のフラクタル次元がD=1.25ということで説明がつきます。即ちフラクタルの解釈では国境線は1.25次元となります。
もっと極端な例ではブラウン運動の軌跡があります。これはL(動いた距離の長さ)がrの長さに反比例します。即ちD=2でフラクタルで言えば2次元の線となります。
もしrとNの関係、(あるいはrとLの関係)のようなものを考えるなら線型ではありません。

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kim********さん

編集あり2012/9/910:07:56

どうぞ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7

>フラクタルは線形と考えていいでしょうか?

どういう意味でしょうか?
例えば、線形な関係式からフラクタル集合を作れるか、みたいな話でしょうか?
それなら、多分無理だと思いますが、証明は知りません。

ただ、どんな意味であっても、
「フラクタルは線形」とは通常言わないと思います。

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