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解き方を教えてください。出来たら記述も・・・。 2次方程式 x^-kx+k+3=0が異なる2...

佐藤 一止さん

2012/9/1512:52:54

解き方を教えてください。出来たら記述も・・・。
2次方程式 x^-kx+k+3=0が異なる2つの負の解を持つような定数kの値の範囲を求めよ。

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ベストアンサーに選ばれた回答

man********さん

2012/9/1513:27:37

まずこういった問題はグラフをイメージ出来るようになってください。
異なる解を2つ持つには…判別式>0
負の解を持つには…頂点のx座標が負
解が両方負になるには…y軸とy>0で交わる

この3つが条件です。
x^2-kx+k+3=0

1つ目の条件から
k^2-4k-12>0
(k-6)(k+2)>0
k<-2,6<k

2つ目の条件から
k/2<0
k<0

3つ目の条件から
k+3>0
k>-3

以上から
-3<k<-2

解と係数の関係を使って解く方法もあります。

質問した人からのコメント

2012/9/15 14:40:13

降参 みなさん、ありがとうございました。
とても分かりやすかったのでBAにさせていただきました。

ベストアンサー以外の回答

1〜5件/5件中

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cat********さん

2012/9/1513:57:36

x^2-kx+k+3=0……①

①の判別式をDとおくと
D=(-k)^2-4・1・(k+3)
=k^2-4k-12

また、①の2つの解をα、βとおくと
解と係数の関係から
α+β=k,αβ=k+3


①が異なる2つの負の解を持つ条件は

異なる2つの実数解をもつから
[1]D>0

α<0,β<0より
[2]α+β<0
[3]αβ>0

をすべて満たすことである


[1]から
k^2-4k-12>0
(k+2)(k-6)>0
k<-2,6<k

[2]から
k<0

[3]から
k+3>0
k>-3


以上の共通範囲から
-3<k<-2……(答)

mag********さん

2012/9/1513:36:25

解の存在範囲の問題ですね。

ポイントは3つ。
1.判別式
2.方程式の軸の位置
3.f(x)の条件

(解答)

x^2-kx+k+3=(x-k/2)^2-k^2/4+k+3
よって軸の位置はx=k/2
k/2<0⇔k<0・・・①
判別式をDと置く
異なる2つの解を持つので、x>0
D=k^2-4k-12=(k-6)(k+2)>0
よってk<-2,6<k・・・②
f(0)=k+3>0⇔k>-3・・・③
①,②,③の共通範囲をとって
3<k<-2

答えは3<k<-2です

等号に=がつくかつかないかに
注意しましょう

eye********さん

編集あり2012/9/1513:35:56

与式を変形
x^2-kx+k+3=0
⇒x^2-kx+k^2/4-k^2/4+k+3=0
⇒(x-k/2)^2-(k^2-4k-12)/4=0

(1)
異なる2つの解を得るとき
第2項:
-(k^2-4k-12)/4<0
⇒k^2-4k-12>0
⇒(k-6)(k+2)>0
⇒k<-2,6<kー①

(2)
変形式からk/2を軸とする放物線であることから、負の解を得るとき
k/2<0
⇒k<0ー②

(3)
異なる2つの負の解を得るとき
x=k/2+√(k^2-4k-12)/2
k/2+√(k^2-4k-12)/2<0
⇒k<-√(k^2-4k-12)
⇒k^2<k^2-4k-12
⇒4k<-12
⇒-3<kー③

①②③から、kの範囲は
-3<k<-2
となる。

sin********さん

2012/9/1513:33:05

異なる2つの解をもつ
→判別式D>0

D=k^2-4(k+3)>0
(k+2)(k-6)>0
k<-2,6<k・・・①

2つとも負
解の公式より
x=(k±√(k^2-4k-12))/2
(k-√(k^2-4k-12))/2<(k+√(k^2-4k-12))/2より
(k+√(k^2-4k-12))/2<0ならば、2解とも負

k+√(k^2-4k-12)<0
√(k^2-4k-12)<-k
両辺とも正の数なので、2乗しても不等号は成り立つ
k^2-4k-12<k^2
k>-3・・・②

①②より
-3<k<-2

(別解)
y=x^-kx+k+3とすると、
グラフがx<0で2点で交わる
→(i)判別式D>0
(ii)軸がx<0
(iii)f(0)>0

(i) k<-2,6<k
(ii)軸x=k/2<0
k<0
(iii)f(0)=k+3>0
k>-3
(i)(ii)(iii)より
-3<k<-2

paw********さん

2012/9/1513:15:48

f(x)=x^-kx+k+3とおいて、グラフで考えます。
異なる2つの負の解をもつ⇔x軸の負の部分で2点交わる
したがって、そのようなグラフになる条件を満たせばOK

i)D>0(2点で交わる)
ii)f(0)>0(x軸の正の部分と負の部分どちらかで2点交わる)
iii)軸<0
この3つを満たすkの範囲を求めましょう。

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