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位相上の集積点について確信が持てません

bai********さん

2012/9/2601:24:22

位相上の集積点について確信が持てません

S={a,b,c}の位相をΩ={φ,{a,b,c},{a,b},{a}}で定め, A(*), I(*)をそれぞれ閉包作用子, 開核作用子とします.
M={b,c}をSの部分集合とすれば, その相対位相ΧがΧ={φ,{b,c},{b}}です.
点x∈SがMの集積点であるとはx∈A(M-{x})を満たすこと(松坂和夫)とあります.

これは具体的に次のような考察で正しいのでしょうか?

x=aの場合: A(M-{x})=A({b,c})={b,c} ,これはaを含まない
x=bの場合: A(M-{x})=A({c})={b,c}∋bを含む?
x=cの場合: A(M-{x})=A({b})={b} ,これはcを含まない

よってMにおける集積点全体は{b}

x=aの場合: A(S-{x})=A({b,c})={a,b,c}∋a
x=bの場合: A(S-{x})=A({a,c})={b,b,c}∋b
x=cの場合: A(S-{x})=A({a,b})={a,b} ,これはcを含まない

よってSにおける集積点全体は{a,b}


どなたか正しさ検証お願いします.

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clickyさん

編集あり2012/9/2610:56:04

M={b,c} では、Χ={φ,{b,c},{b}} から、閉集合族Yは補集合を取って、 Y={φ,{b,c},{c}} です。
すると、以下の通り、Yから閉包が選ばれて
A(M-{a})=A({b,c})={b,c} … aを含まない
A(M-{b})=A({c})={c} … bを含まない
A(M-{c})=A({b})={b,c} … cを含む

よってMにおける集積点全体は {c}
※bが集積点でなくて孤立点であることは距離空間における近傍で定義されたイメージからも明らかでしょう。{b}が開になっている。

S={a,b,c} では、 Ω={φ,{a,b,c},{a,b},{a}} から、閉集合族Γは補集合を取って、 Γ={φ,{a,b,c},{b,c},{c}} です。
すると、以下の通り、Γから閉包が選ばれて
A(S-{a})=A({b,c})={b,c} … aを含まない
A(S-{b})=A({a,c})={a,b,c} … bを含む
A(S-{c})=A({a,b})={a,b,c} … cを含む

よってSにおける集積点全体は {b,c}
※aが集積点でなくて孤立点であることは距離空間における近傍で定義されたイメージからも明らかでしょう。{a}が開になっている。

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