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f(x,y)=arctan{(x+y)/(1-xy)}のマクローリン展開を求めよ よろしくお願いします

mai********さん

2012/11/1622:20:59

f(x,y)=arctan{(x+y)/(1-xy)}のマクローリン展開を求めよ

よろしくお願いします

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2012/11/2316:45:38

まず f(x,y) を簡単にしましょう.u=arctan x, v=arctan y と置けば,加法公式から

tan(u+v)=(tan u + tan v)/(1-tan u・tan v),即ち,

f(x,y)=arctan x + arctan y

となります. 従って g(x)=arctan x のマクローリン展開を求めれば解決です.g(x) の n 次導関数は求めることは不可能でしょうが,n 次導関数の x=0 での値は次のように計算できます.

まず g'(x) を計算すれば次の式を得ることができます.

(1+x^2)・g'(x)=1 (g'(x)=1/(1+x^2) より)

この式の両辺を n 回微分して(左辺にライプニッツの公式を利用)

(1+x^2)・g^(n+1)(x) + nC1・2x・g^(n)(x) + nC2・2・g^(n-1)(x) = 0

となります.ここで x=0 と置けば次の漸化式を得ます.

g^(n+1)(0) + n(n-1)・g^(n-1)(0) = 0

この漸化式を初期条件

g(0)=0, g'(0)=1

のもとで解けば

g^(2n)(0) = 0 (偶数次数の部分は 0)

g^(2n+1)(0) = (-1)^n・(2n)!

となります.これより

g(x) = x - (1/3)・x^3 + (1/5)・x^5 - (1/7)・x^7 + ・・・・・

が得られます.従って

f(x,y) = (x+y) - (1/3)・(x^3+y^3) + (1/5)・(x^5+y^5) - (1/7)・(x^7+y^7) + ・・・・・

となります.

****************
g(x)=arctan x のマクローリン展開は次のように計算すればより直観的に得られます.
公比 -x^2 の等比級数の和公式から(|x|<1 で考えます)

1/(1+x^2) = 1-x^2+x^4-x^6+・・・+(-1)^n・x^{2n}+・・・

両辺を [0,x] で積分すれば

arctan x = x - (1/3)・x^3 + (1/5)・x^5-・・・+(-1)^n・{1/(2n+1)}・x^{2n+1}+・・・

となります.

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