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a,b,c,dが正の数のとき次の不等式を証明せよ。また等号が成り立つのはどの...

sty********さん

2012/11/2120:57:30

a,b,c,dが正の数のとき次の不等式を証明せよ。また等号が成り立つのはどのような場合か。

①(a+b)(c+d)≧4√abcd
②(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcd

分かる方いますか


教えてください(ノД`)

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ベストアンサーに選ばれた回答

j_b********さん

編集あり2012/11/2121:22:38

①(a+b)(c+d)≧4√abcd

相加平均相乗平均の関係より(a,b,c、dは正の数であることに注目)

a+b≧2√ab
c+d≧2√cd
すべての項が正の数なので
辺辺掛け合わせても不等号は成立するので
(a+b)(c+d)≧4√abcd
等号はa=bかつc=dのとき成立

②(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcd
最後のdはなしと.解釈して問題解きます
(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc
①と同様相加平均相乗平均の関係より

a+b≧2√ab
b+c≧2√bc
c+a≧2√ca
すべての項が正の数なので辺辺掛け合わせても不等号は成立
(a+b)(b+c)(c+a)≧8√a^2b^2c^2
∴(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc
等号はa=b=cのとき成立

① a,b,c、d が正の数②a、b、cが正の数という条件付きであることに注意です

質問した人からのコメント

2012/11/22 03:25:21

なるほど。お二方ともありがとうごさいました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

gla********さん

編集あり2012/11/2121:42:43

相加相乗平均の関係を使います


①(a+b)(c+d)

≧2√(ab)*2√(cd)

=4√(abcd)


等号成立はa=b,c=dの時


②(a+b)(b+c)(c+a)

≧2√(ab)*2√(bc)*2√(ca)

=8abc


等号成立はa=b=cの時




同じ問題があったので載せときます↓

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inequality13.htm

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