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単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理について

bai********さん

2012/11/2506:11:09

単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理について

条件(*)を満たすとき, 単項イデアル整域R上の有限生成加群Mは

(+)[i=1,r]R/Rd_i(+)R^l

にR同型である.

(*) d_1|d_2| ... | d_r (d_1はR上逆元を持たない, d_r≠0)

ここで(d_i)は単因子です.



証明部分で、この表示が可能なことは理解できました。
しかし一意性の証明の部分で、

TM={x∈M|あるa≠0に対してax=0}
とおくと, TMはMの部分加群で, (d_i)が条件(*)を満たすとき

M=(+)[i=1,r]R/Rd_i(+)R^l

と書けるので,

TM=(+)[i=1,r]R/Rd_i
M/TM≡R^l

となる、とあります。この最後の2式が理解できません。
自由部分(R^l)はなぜTMに含まれないのでしょう?

どなたか単因子論に詳しい方、解説宜しくお願いします。

補足零因子と「ほぼ」同じ意味とはどういうことですか?
係数環Rが整域だとなぜ自由部分が消滅するんでしょう?
消滅子もよく知りません. 量子論の言葉でしょうか?
詳しくお願いします.

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ベストアンサーに選ばれた回答

map********さん

2012/11/2801:32:09

x=(x_1,…,x_L)∈R^Lに対しあるa≠0がありax=0とすると、a(x_1,…,x_L)=(ax_1,…,ax_L)=0よりax_1=0,…,ax_L=0である。Rは整域ゆえa≠0であればx_1=0,…,x_L=0 即ちx=(0,…,0) つまりR^Lの元は0以外はTMに含まれない。

二つ目の式はR_i:環、M_i:イデアルの時、同型定理
(+)[i=1,r]R_i/(+)[i=1,r]M_i≡(+)[i=1,r]R_i/M_i
を使います。
T/TM=(+)[i=1,r]R/Rd_i(+)R^L/(+)[i=1,r]R/Rd_i≡(+)[i=1,r]R/Rd_i(+)R^L/(+)[i=1,r]R/Rd_i(+)(0_1,…,0_L)≡(+)[i=1,r](R/Rd_i)/(R/Rd_i)(+)(R/0)^L≡(+)[i=1,r](0)(+)R^L≡R^L と示せます。

質問した人からのコメント

2012/12/1 03:33:10

別の代数の教科書を見ると, R加群Mのねじれ部分をtortionと言ってt(M)={x∈M| ax=0 (0≠a∈R)}とありました. まさにこのTMのことですね. そしてd1≠0でd1|d2|...|drが成り立てば, R/Rdi (i=1,...,r)のいかなる元もdr倍すればかならず(剰余加群上)0になるのでかなり自明なことを聞いてしまいました. でも計算部は参考になりました. ありがとうございます.

ベストアンサー以外の回答

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her********さん

編集あり2012/11/2520:46:56

>自由部分(R^l)はなぜTMに含まれないのでしょう?

理由はRが整域だからです。

TMの定義がゼロ因子とほぼ同じ意味の消滅子をもつ部分全体を表しています。

補足
消滅子(annihilator)のことです。本によって違います。
Ann_{R}(M)={r ∈R|∀m∈M,rm=0}
「TMの定義がゼロ因子とほぼ同じ意味の消滅子をもつ部分全体を表しています。」
の部分は忘れてください。

加群のねじれ部分TMが環の零因子にあたるから
と書いた方がよかったです。
混乱させてすみませんでした。

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