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4STEPⅡ•Bの導関数の応用の392番の⑵の問題が分かりません。分かる人はどう解けばい...

白黒猫さん

2013/1/518:50:55

4STEPⅡ•Bの導関数の応用の392番の⑵の問題が分かりません。分かる人はどう解けばいいのか教えて下さい。

補足問題は"k>0とする、関数f(x)=3x³-k²x+2(0≦x≦1)における最大値を求めよ"です。

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2013/1/520:10:18

f(x)=3x^3-k^2x+2 (0≦x≦1) k>0 ・・・①
f’(x)=9x^2-k^2
f’(x)=0となるxの値は
9x^2=k^2
x^2=k^2/9
x=±k/3

①は、x=-k/3のとき、極大値
f(-k/3)=3・(-k/3)^3-k^2・(-k/3)+2=2k^3/9+2
x=k/3のとき、極小値
f(k/3)=3・(k/3)^3-k^2・(k/3)+2=-2k^3/9+2
をとる。
0≦x≦1で、kの値を場合分けして、最大値を求める。

(1)0<k/3<1 のとき
0<k<3のとき、f(0),f(1)のいずれかで
最大値を持つ。

f(0)=2
f(1)=3-k^2+2=5-k^2
f(0)とf(1)の大小を比べると
f(1)-f(0)
=(5-k^2)-2
=-k^2+3
-k^2+3≧0とすると
k^2≦3
k>0より、この範囲では
0<k≦√3のとき、f(1)≧f(0)
√3<k<3のとき、f(1)<f(0)となる。

よって
0<k≦√3のとき、最大値f(1)=5-k^2
√3<k<3のとき、最大値f(0)=2
になる。

(2)k/3≧1のとき
k≧3のとき
(1)より
x=0のとき、最大値f(0)=2をとる。

よって、(1)(2)より
0<k≦√3のとき、最大値5-k^2
k>3のとき、最大値2
になります。

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