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n×n行列、XとYの2×2行列 (1)n×n行列 全てのn×n行列Yに対してXY=YXが成り立つ時...

i_l********さん

2013/1/1516:03:50

n×n行列、XとYの2×2行列

(1)n×n行列
全てのn×n行列Yに対してXY=YXが成り立つ時
ある数に対してX=kEnと表せる事を示せ
但しEnは行列
(1 0)
(0 1)
とする


(2)XとYの2×2行列

XY=YXが成立する時ある数p、qが存在して
X=pY+qE
と書ける事を示せ

という問題がわかりません
どなたか解説お願いします

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nbr********さん

2013/1/1517:52:35

[i_l_kzmyukSI]

(1) Yとして第i行第i列だけが1で,他の要素がすべて0のものをとると,XYは第i列以外はすべて0,YXは第i行以外はすべて0になるから,これらがすべてのiについて等しいためには,Xは対角行列でなければならない.次にYとして(i,i+1)要素と(i+1,i)要素が1で,他がすべて0のものをとると,XY=YXからXの(i,i)要素と(i+1,i+1)要素が等しいことがわかる.したがってXは単位行列E_nに比例する.

(2) 2×2の行列は1次独立なものが4個である.したがって任意の2×2行列は単位行列Eと3つのパウリ行列σ_1, σ_2, σ_3の1次結合として一意的に表される.ここにパウリ行列はσ_1=(0 1)/(1 0), σ_2=(0 -√-1)/(√-1 0), σ_3=(1 0)/(0 -1)
交換子を[A, B]=AB-BAと定義すると,パウリ行列の交換子は[σ_i, σ_j]=2√(-1) σ_k (i,j,kは1,2,3の巡回置換)となる.
したがって,X=x_0 E+x_1 σ_1 + x_2 σ_2+ x_3 σ_3, Y=y_0 E+y_1 σ_1 + y_2 σ_2 + y_3 σ_3と展開して交換子[X,Y]を計算すれば,それが=0という式はσ_kの係数=0という式,すなわちa_i b_j-b_i a_j=0 となる.したがって,a_iはb_iに比例する.
以上から,X=pY+qEとなる.

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