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行列のn乗の求め方についての質問です。 大学受験レベルの求め方として 1、...

blu********さん

2013/1/3102:01:25

行列のn乗の求め方についての質問です。

大学受験レベルの求め方として
1、ハミルトンケーリーが2解?を持つとき、その2つを利用して数列の漸化式のような連立方程式をつくる
2、重解のとき二項定理に持ち込む

3、虚数解のときは何か特別な方法を題意から読み取る
4、回転行列に帰着できそうなら帰着させて解く

5、固有値、固有ベクトルを使う。

この5つだと思っているのですがほかにあるでしょうか。
また、5の固有値、固有ベクトルと1、2、3、は同じなのかと思っているのですが、
どうなのでしょうか。
同じ場合、お勧めの解法はどちらになるでしょうか。
それぞれの解法の利点などもありましたら教えてください。

よろしくお願いします。

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one********さん

2013/1/3104:26:41

http://www.yuuichi.net/matrix1.pdf

によると、

割り算の利用
スペクトル分解

なる方法もあるようですね。

[漸化式的方法]
ケーリーハミルトンが異なる二つの根を与える時に使える技ですね。
同じ変形を二つの根に関して行い、等比級数に持ち込んで、それらを連立させてn乗を出す方法です。

[二項展開による方法]
これはケーリーハミルトンが重解の時に、(A-αE)^2=0と、B=A-αEなる行列が二乗して0になる性質を使う方法です。

[n乗に法則性を見出す方法]
これは実際に2乗、3乗と計算してみて、法則性を見つける方法です。

[固有値・固有ベクトルを使う方法]
Ax = αX
Ay = βY

となるベクトルを見つけて

P = [x, y]

という行列を作ると

P^(-1)AP = diag(α, β)

となるので、

A^n = P diag(α^n, β^n)P^(-1)

を計算すると、n乗が出ます。

[割り算の利用]
多項式の割り算を思い出して、A^nをケーリーハミルトンの方程式の左辺で形式的に割ります。

A^n = (A-αE)(A-βE)Q + aA+bE

これをまずはAに関する恒等式と見ます。すると、A=αE、A=βEの時を使えば、a,bが求められて、

a = (α^n - β^n)/(α-β)
b = - (α^nβ - αβ^n)/(α-β)

となります。そして恒等式をAの方程式として見直すと、ケーリーハミルトンの部分が落ちて、

A^n = aA+bE

とわかります。


[スペクトル分解]
X = -(A-αE)
Y = A-βE

とします。すると、

A = (βX + αY) / (α-β)

です。

ケーリーハミルトンの方程式から

X^2 = (A-αE)^2 = {A-βE - (α-β)E}(A-αE) = (α-β)X
Y^2 = (α-β)Y
XY = YX = 0

です。よって、

A^n
= (βX+αY)^n / (α-β)^n
= {β^nX^n+α^nY^n}/(α-β)^n
= {β^nX+α^nY}/(α-β)
= aA+bE

a = (α^n - β^n)/(α-β)
b = - (α^nβ - αβ^n)/(α-β)

とわかります。


回転行列の方法というのは、これには載ってませんね。
大学で習いますが、対称行列のn乗を考えるときには回転行列が登場します。
特殊な場合にのみ適用可能なものと考えられます。
汎用性は低いでしょう。


さて、それぞれの利点ということですが。

最も汎用性・実用性が高いのは固有値の方法です。
そもそもケーリーハミルトンの方程式は、固有方程式という、固有値を決める方程式からのものです。
固有方程式に、行列Aを代入した行列方程式が成立する、というのがケーリーハミルトンの主張なのです。
固有値の方法が最も原理的で、工夫・考察なしに機械的にn乗を求めることができます。


他の物は、固有値をちゃんとは学んでいない高校生が何とかn乗を出すための工夫です。
二行二列ならなんとかなりますが、n行n列の行列に対しては有効とは言えません。

でも、受験には二行二列しか出ないんですよね?
だったら、どれでも一緒です。大差ないです。

ってか、ぶっちゃけ

A^n = aA+bE

a = (α^n - β^n)/(α-β)
b = - (α^nβ - αβ^n)/(α-β)

を覚えればいい気もします。そんなに覚えにくいものでもないですし。

質問した人からのコメント

2013/2/3 11:54:40

[割り算の利用]は特に参考になりました。
本当にありがとうございます。

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