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剰余の定理と因数定理について教えてください。

sho********さん

2013/2/2420:18:38

剰余の定理と因数定理について教えてください。

剰余の定理と因数定理がイマイチよく分かりません。なので、剰余の定理と因数定理を分かりやすく教えてください。
あと、この問題の解答・解説をお願いします。

整式P(x)=x^3+ax^2-x-a+3をx-3で割ったときの余りが-5になるように、定数aの値を求めよ。

よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

jan********さん

編集あり2013/2/2420:38:08

因数定理とは
例えば
P(x)=(x-1)(x-2)
とすればx=1としたときのP(1)=0になるのは当たり前ですが、(x-1が0になるから!)
この逆も成立するということです。
つまりP(1)=0になるときはP(x)を因数分解したときに(x-1)が出てくるということです。
もう少し一般的に言えば
P(α)=0⇒P(x)は因数分解したときに(x-α)が出てくる
ということです。
因数分解をしたときに(x-α)が出てくるということを「(x-α)を因数に持つ」という言い方もします。
因数定理というのはここからきているのでしょう。


剰余の定理とは
Q(x)=(x-3)(x+1)+6
であればx=-1としたQ(-1)は6になるのは当たり前ですが、(x+1が0になるから!)
因数定理と同様にこの逆が成立するということです。
つまり
Q(-1)=6であれば、(x+1)でくくったとき6が外に出る
ということですね。
もう少し一般的に言えば
Q(α)=k⇒Q(x)は(x-α)でくくるとkだけ外に出る
ということです。
このkを
13=3×4+1
としたときに、13を3で割った余りが1というのと同様に
Q(x)=(xの式)(x-α)+k
としたときに、Q(x)を(x-α)で割った余りがkというように言います。(剰余の定理の剰余とは“余り”のことです。)

Q(α)=0であれば余りが0ですが、これはx-αを因数にもつということを示しており、因数定理に他なりません。
結局、因数定理とは剰余の定理の特殊なケースになっています。


具体的な問題が解けなければ意味がありませんので、質問者様の質問された問題を解いてみましょう。
整式P(x)=x^3+ax^2-x-a+3をx-3で割ったときの余りが-5になるように、定数aの値を求めよ。

これは剰余の定理を用いて解く問題です。
x-3で割った余りを考えるので、x=3を代入したP(3)を考えます。
すると
P(3)=27+9a-3-a+3=8a+27
となりますが、これが余りの-5になればよいので
8a+27=-5
つまりa=-4…(答)となります。


何か疑問点があれば補足までお願いします。

質問した人からのコメント

2013/2/24 21:08:28

降参 分かりやすく説明していただきありがとうございました。他の方もありがとうございました。

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wea********さん

2013/2/2420:41:13

剰余の定理は、
多項式P(x)を1次式x-kで割った余りはP(k)に等しい
ということです。この剰余の定理により、
P(x)=(x-k)Q(x)+P(k)が成り立つから、
P(x)がx-kで割り切れるのは、その余りP(k) が0になるときである。したがって、次の因数定理が成り立つ。
多項式P(x)が一次式x-kを因数にもつ
[P(x)がx-kで割り切れる]
ことは、P(k)=0であることと同値である。

問題の解法は、
P(x)=x^3+ax^2-x-a+3
xに3を代入(剰余の定理より)
問題の条件からP(3)=-5
すなわち
3^3+(3^2)a-3-a+3=-5
27+9a-3-a+3=-5
27+8a=-5
8a=-32
a=-4
したがって、a=4

sil********さん

2013/2/2420:30:20

P(x)=x^3+ax^2-x-a+3
P(x)=(x-3)Q(x)-5
P(3)=-5
27+9a-3-a+3=-5
8a=-32
a=-4




因数定理はP(a)=0となるときP(x)はx-aを因数にもつ。
という定理。

剰余の定理は上のように式変形だけで余りがわかりますよ的なやつ。


自分も剰余の定理は最初使い道がわからなかったけど途中でとてつもなく便利なものだと感動したことから理解できました。
↑つまり経験と慣れ

zet********さん

2013/2/2420:29:14

整式P(x)=x^3+ax^2-x-a+3をx-3で割ったときの余りが-5になるように、定数aの値を求めよ

P(x) を (x - 3) で割ったときの商を Q(x) とおくと
P(x) = x^3 + ax^2 - x - a + 3 = (x - 3)・Q(x) - 5
とおけるから、これに x = 3 を代入すると

P(3) = 3^3 + a・3^2 - 3 - a + 3 = 0・Q(3) - 5

となる。つまり
27 + 8a = -5
であるから
a = -4

となります。

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