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基礎解析学の写像に関する問題です。回答を教えて下さい。 問題:集合XとYとの間...

nok********さん

2013/2/2521:18:35

基礎解析学の写像に関する問題です。回答を教えて下さい。
問題:集合XとYとの間の写像f:X→Yに関して,次の問いに答えよ.

(1)
(i)任意のA⊂Xに対して,次のうち常に成立するものを選べ.(答えのみでよい)
(a)A⊂f^(-1)(f(A)), (b)f^(-1)(f(A))⊂A
(ii)fが単射⇔任意のA⊂Xに対してA=f^(-1)(f(A))が成立することを示せ.

(2)
(i)任意のB⊂Yに対して,次のうち常に成立するものを選べ. (答えのみでよい)
(a)B⊂f(f^(-1)(B)), (b)f(f^(-1)(B))⊂B
(ii)fが全射⇔任意のB⊂Yに対してB=f(f^(-1)(B))が成立することを示せ.

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2013/2/2610:29:31

(1)
(i) (a)
■ A⊂f^(-1)(f(A))の証明
aをAの任意の元とすると
f(a)∈f(A)となるので
a∈f^(-1)(f(A))
したがって、A⊂f^(-1)(f(A))

■ f^(-1)(f(A))⊂A の反例
X=Y=R, f(x)=0(∀x∈X)とし、A={0}とすると
f^(-1)(f(A))=Xなので
f^(-1)(f(A))⊂Aは成り立ちません。


(ii)
■ fは単射 ⇒ 任意のA⊂Xに対してA=f^(-1)(f(A))が成り立つ について
aをAの任意の元とすると
f(a)∈f(A)となるので
a∈f^(-1)(f(A))
よって、A⊂f^(-1)(f(A))

また、xをf^(-1)(f(A))の任意の元とすると
f(x)∈f(A)となるので
f(x)=f(a)(a∈A)と表わされます。
ここで、fは単射だから
x=a∈A
よって、A⊃f^(-1)(f(A))

したがって、A=f^(-1)(f(A))

■ 任意のA⊂Xに対してA=f^(-1)(f(A))が成り立つ ⇒ Aは単射 について
a, b∈Xがf(a)=f(b)を満たすものとします。
A={a}とおくと、A⊂Xで
f(A)={f(a)}となるので
f(b)=f(a)∈f(A)
よって、b∈f^(-1)(f(A))
そして、仮定によりA=f^(-1)(f(A))だから
b∈{a}
よって、a=b

したがって、fは単射です。


----------------------------------------
(2)
(i) (b)
■ B⊂f(f^(-1)(B)) の反例
X=Y=R, f(x)=0(∀x∈X)とし、B=Yとすると
f(f^(^-1)(B))={0}なので
B⊂f(f^(-1)(B))は成り立ちません。

■ f(f^(-1)(B))⊂B の証明
yをf(f^(-1)(B))の任意の元とすると
y=f(x)(x∈f^(-1)(B))と表わされ、
x∈f^(-1)(B)だから、f(x)∈Bだから
y=f(x)∈B
したがって、f(f^(-1)(B))⊂B


(ii)
■ fは全射 ⇒ 任意のB⊂Yに対してB=f(f^(-1)(B))が成り立つ について
bをBの任意の元とすると
fは全射だから、b=f(x)(x∈X)と表わされます。
f(x)∈Bだから
x∈f^(-1)(B)
よって、b=f(x)∈f(f^(-1)(B))
したがって、B⊂f(f^(-1)(B))

また、yをf(f^(-1)(B))の任意の元とすると
y=f(x)(x∈f^(-1)(B))と表わされ、
x∈f^(-1)(B)だから、f(x)∈Bだから
y=f(x)∈B
したがって、f(f^(-1)(B))⊂B

したがって、f(f^(-1)(B))=B


■ 任意のB⊂Yに対してB=f(f^(-1)(B))が成り立つ ⇒ fは全射 について
YはYの部分集合なので、仮定により
Y=f(f^(-1)(Y))が成り立ちます。
そして、f(f^(-1)(Y))⊂f(X)⊂Yなので
Y=f(f^(-1)(Y))⊂f(X)⊂Y
よって、Y=f(X)

したがって、fは全射です。

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