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a1=2,a2=4, a(n+2)={a(n+1)}^3/(an)^2 の一般項を求めよ、という問題です 解き...

tor********さん

2013/5/1712:59:15

a1=2,a2=4, a(n+2)={a(n+1)}^3/(an)^2
の一般項を求めよ、という問題です

解き方を教えてください

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ベストアンサーに選ばれた回答

yum********さん

編集あり2013/5/1716:27:28

logとってloga(n)=b(n)とおけばすぐ終わる

a1=2,a2=4, a(n+2)={a(n+1)}^3/(an)^2

loga(n+2)=log{a(n+1)}^3/(an)^2

loga(n+2)=3loga(n+1)-2log(an)

b(n+2)=3b(n+1)-2b(n)

特性方程式
x^2-3x+2=0よりx=1,2

b(n+2)-2b(n+1)=b(n+1)-2b(n)=b(2)-2b(1)-①

b(n+2)-b(n+1)=2(b(n+1)-b(n))より
b(n+1)-b(n)=2^(n-1)(b(2)-b(1))-②

①-②より
-b(n)=b(2)-2b(1)-2^(n-1)(b(2)-b(1))

b(n)=-b(2)+2b(1)+2^(n-1)(b(2)-b(1))

log[2]a(n)=-b(2)+2b(1)+2^(n-1)(b(2)-b(1))

∴a(n)=2^(-b(2)+2b(1)+2^(n-1)(b(2)-b(1)))

a(1)=2,a(2)=4
b(1)=log[2]2=1
b(2)=log[2]4=2

∴a(n)=2^(-2+2+2^(n-1)(2-1)=2^(2^(n-1))

簡単だけど解ききるのは大変。

質問した人からのコメント

2013/5/17 21:59:52

回答ありがとうございました!

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