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力学の微分方程式の問題です

yoj********さん

2013/5/2516:05:43

力学の微分方程式の問題です

質量mの質点が空気中を落下する場合の運動について考える。浮力は無視し、重力加速度g、鉛直方向にz軸をとり上向きを正とする。
1)落下中の質点には、重力と速さに比例する大きさの抗力が働くとする。この比例定数をγ(γ>0)として運動方程式をzの微分方程式として表せ。抗力の大きさは速さ×γとする。
2)運動方程式の一般解を以下の手順で求める。
① 1)の微分方程式を Vz(Vz=dz/dt) の微分方程式に書き換えよ
② ①の微分方程式の定数項を0と置いた斉次微分方程式を示せ
③ ②の微分方程式の一般解を求めよ
④ ①の微分方程式の特別解を ‐mg/γ として①の一般解を求めよ
⑤ t=0のとき Vz=Vo として④で求めた一般解に含まれる積分定数を求め、この場合のVzを時間 t の関数として表せ。また、終速度はいくらか
⑥ ⑤のVzを積分してzを時間の関数として求めよ。但しt=0においてz=0とする。

2)の②までは解けたのですがそれからわかりません;;
わかるとこまででいいので教えてくださいm(__)m

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ベストアンサーに選ばれた回答

por********さん

2013/5/2517:33:07

速度に比例する空気抵抗のある落下の問題です。
普通は変数分離型の微分方程式で解きます。

1)
m (d/dt)^2 z = - mg - γ(d/dt) z

2)

v = dz/dt として1)の式を書き直します。
あとで v = vz としてください。
dv/dt = -g - (γ/m) v
dv/dt + (γ/m) v = -g


dv/dt + (γ/m) v = 0


v = e^(λt) とおくと、dv/dt = λe^(λt) より、②の方程式は
λe^(λt) + (γ/m) e^(λt) = 0
e^(λt)≠0より、λ= - (γ/m)
定数 C をかけても解になるから、一般解は
v = C e^(-(γ/m)t)


①の非斉次方程式の一般解は、②の斉次方程式の一般解に
特殊解を加えたもになるから
v = C e^(-(γ/m)t) - mg/γ


t = 0 で v = v0 だから
v0 = C e^(-(γ/m) 0 ) - mg/γ
これから
C = v0 + mg/γ
よって
v = ( v0 + mg/γ ) e^(-(γ/m)t) - mg/γ

終端速度は t→∞ を考えて、e^(-(γ/m)t)→0 より
v = - mg / γ


z = ∫v dt
= ( v0 + mg/γ ) (-(m/γ)) e^(-(γ/m)t) - (mg/γ) t + C'
= - ( (m/γ) v0 + (m/γ)^2 g ) e^(-(γ/m)t) - (mg/γ) t + C'
t = 0 で z = 0 より
0 = - ( (m/γ) v0 + (m/γ)^2 g ) e^(-(γ/m)t) + C'
これよりC'が求まるので、
z = ( (m/γ) v0 + (m/γ)^2 g ) ( 1 - e^(-(γ/m)t) ) - (mg/γ) t
となる。

質問した人からのコメント

2013/5/29 07:52:20

感謝 ありがとうございましたm(__)m
助かりました

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