三角形の3つの頂角の二等分線は1点で交わる ということをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。 どうやって証明すればいいのかがわかりません! 教えてください。( ;∀;) ;

三角形の3つの頂角の二等分線は1点で交わる ということをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。 どうやって証明すればいいのかがわかりません! 教えてください。( ;∀;) ;

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チェバの定理の逆は先ほどの回答を参考にしてください。 △ABCにおいて、 ∠Aの二等分線とBCの交点をP、 ∠Bの二等分線とCAの交点をQ、 ∠Cの二等分線とABの交点をRとします。 APは∠Aの二等分線なので、 AB:AC=BP:PC これを言い換えると、 CA/AB=PC/BP…① BQは∠Bの二等分線なので、 BA:BC=AQ:CQ これを言い換えると、 AB/BC=QA/CQ…② CRは∠Cの二等分線なので、 CB:CA=BR:AR これを言い換えると、 BC/CA=RB/AR…③ ここで、RB/AR・PC/BP・QA/CQの値は ①、②、③より、 CA/AB・AB/BC・BC/CAとなり、約分すると1です。 つまり、RB/AR・PC/BP・QA/CQ=1が 成り立つので、チェバの定理の逆から、 三角形の3つの頂角の二等分線は1点で交わる ことが言えます。

ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとうございました!わかりました!(*‘∀‘)

お礼日時:2013/6/16 21:00

その他の回答(1件)

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△ABCについて、BC=a,CA=b、、AB=cとしますね。(^^♪ . ∠Aの2等分線とBCの交点をP . ∠Bの2等分線とCAの交点をQ . ∠Cの2等分線とABの交点をRとします。 . 三角形の内角の2等分線の性質より、 . BP:PC=AB:AC=c:b . CQ:QA=BC:BA=a:c . AR:RB=CA:CB=b:a . よって、 . (BP/PC)・(CQ/QA)・(AR/RB) . =(c/b)・(a/c)・(b/a) . =1 . よって、チェバの定理の逆により、 . 3直線AP,BQ,CRは、1点で交わります。