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数学についての質問です。 三角関数の合成に関してなんですが、図で表すとsinxの...

dre********さん

2013/7/1322:02:47

数学についての質問です。

三角関数の合成に関してなんですが、図で表すとsinxの係数をx軸の値、cosxの係数をy軸の値になるのでしょうか。普通sinはyの値、cosxはxの値ではないのでしょうか。

テストが近いので困っています。分かりやすい解答をお願いします!!

係数,加法定理,cosx,x軸,y軸,三角関数,r sin a

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ベストアンサーに選ばれた回答

ton********さん

2013/7/1322:38:56

sinはyの値、cosはxの値
で合っていますよ

加法定理はまとまっている式を「展開」するイメージが強いですが、合成とはその展開とは逆の行為を加法定理を使って行っています。イメージ的には「因数分解」するイメージです。
今回の問題では
sinθ - √3 cosθ = r sin (θ + a)
となるrとaを探しています。
左辺は
1×sinθ - √3×cosθ
とみる事ができ、
1 = r cos a、-√3 = r sin a(マイナスついているので注意)・・・(*)
とおけば、左辺は
r(sinθcosa + cosθsina)
とみる事ができ、これで加法定理を応用しているんだなという事がわかるでしょう。
あとは(*)を満たすようなrとaを見つければ言い訳です。そこで一番最初に書いた
「sinはyの値、cosはxの値」
というのを活用します。
x軸上に1を、y軸上に-√3をとります。(ここから実際に図を書いてみてください)
三角関数の相互関係より
r^2 (sina)^2 + r^2 (cosa)^2 = r^2
なので(*)の式より
r^2 = 4、つまりr = 2である事がわかります。
また、aについてですが、これも(*)の式からr=2を代入すると
cos a = 1/2, sin a = -√3/2
となります。つまり
a = -π/3
これでrとaが求まりました。sinθ - √3cosθ = 2 sin (θ - π/3)ですね。
ここで教科書の目盛りが違うのは、括弧の外にある√3もまとめて考えているからです。
教科書の目盛りをすべて√3で割ると、今書いてみた図と目盛りも、図も同じになると思います。

まとめると、sinθ、cosθを見て図を書いているのではなく、その係数をr sin a, r cos a とおいてそれについて
図を書いているという事です。

わかりづらかったらごめんなさい。
テスト勉強がんばってください。

ベストアンサー以外の回答

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aer********さん

2013/7/1322:23:19

その秘密は加法定理にある

Asinx + Bcosx = Csin(x+α) [合成の式]
Csinxcosα + Ccosxsinα = Csin(x+α) [加法定理]

この2つを見比べて欲しい
A=Ccosα, B=Csinα という関係になるわけだ。

要するに
sinxとくっついてるのはcosαであり
cosxとくっついてるのはsinαだから
それでsinとcosが入れ替わるのだ。

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idl********さん

2013/7/1322:22:02

加法定理で
sin(x+a)=sinxcosa+cosxsina
sinxの係数はcosaなのでx軸,cosxの係数はsinaなのでy軸
にとることになります。

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