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相乗平均、調和平均

gon********さん

2007/3/2223:16:03

相乗平均、調和平均

相乗平均、調和平均の利用の仕方がよく分かりません。具体的な使用方法分かる方教えてください。

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sig********さん

編集あり2007/3/2300:30:26

相乗平均は成長率みたいなものですね。
初期値aでx(n)は前年の何倍かを表すとすると
1年目にa*x(1)になり
2年目にa*x(1)*x(2)になったとすると

平均で1年あたりどのくらい成長したかということを調べるときに
毎年の成長率がαで等しいとして 2年後は a*α^2になります。
このαがいくつぐらいかを求めるのが相乗平均です。
a*α^2 = a*x(1)*x(2)
α = √{x(1)*x(2)} が相乗平均です。

調和平均は、平均の速度とかですね
行きが 時速akmで帰りが 同じ道を 時速bkmでした。平均の速度は?といったときに
走行距離を x とすると往復で
(x/a) + (x/b) 時間かかったことになります。
往復の道のりは 2xなので
(2x)/{(x/a) + (x/b)} = 2/{(1/a)+(1/b)} が平均時速ということになります。これが調和平均です。
ここで用いているのは距離/速さ = 時間 の形の式です。
距離が一定で時間は普通に足し算ができる量です。
速さというのは、足していいものかどうかも分かりにくい量ですが
時間 = (距離/速さ)という式から、速さというのは逆数が
足し算に向いている量ということになりますね。

なので調和平均は、逆数が和に向いている時の平均ということになります。

似たようなもので電気抵抗がそうですね。並列につないだ抵抗値の平均などが
調和平均に向いています。

公式では、R_1とR_1の抵抗を並列接続したときの2つあわせた抵抗値は
(1/R) = (1/R_1) + (1/R_2)
R = 1/{(1/R_1) + (1/R_2)}
ですが

等しい抵抗Sを2つ用意して並列に繋いだときに
(1/R) = (1/S) + (1/S) = (2/S)
を満たすようなSを求める場合
(2/S) = (1/R_1) + (1/R_2)
S = 2/{(1/R_1) + (1/R_2)}
で調和平均になっています。抵抗一つ分ですね。平均ですから。

速さのときみたいに 電流 = 電圧/抵抗 といった形の式から出てきます。

質問した人からのコメント

2007/3/27 20:50:03

降参 ありがとうございます。
X*Y=a の反比例の式を連想します。

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