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a が関数の重解ならば、f’(a)=0 及び f''(a)=0 がつねに成り立つでしょうか?

tal********さん

2013/8/222:17:18

a が関数の重解ならば、f’(a)=0 及び f''(a)=0 がつねに成り立つでしょうか?

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aho********さん

2013/8/222:46:07

関数の重解って何だよ。
2次以上の方程式の重解のことか?
それなら
命題は偽
反例:f(x)=x^3-x^2-x+1=0はx=1を重解に持つが、f''(1)=4≠0

質問した人からのコメント

2013/8/3 18:16:53

ありがとうございました!

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az1********さん

2013/8/300:06:57

talkingnoobieさん

「aがf(x)=0の重解⇔f(a)=0,f'(a)=0」です。

f''(a)=0は普通は成り立ちません。

hmy********さん

2013/8/223:11:24

f(x)=0のn重解をaとする。(n≧2)
f(x)=(x-a)^n*g(x)
f'(x)=(x-a)^n*g'(x)+n*(x-a)^(n-1)*g(x)
=(x-a)^(n-1)*{(x-a)*g'(x)+n*g(x)}
f'(a)=(a-a)^(n-1)*{(a-a)*g'(a)+n*g(a)}
=0*{0*g'(a)+n*g(a)}=0
(x-a)*g'(x)+n*g(x)=h(x)とおくと
f''(x)=(n-1)*(x-a)^(n-2)*h(x)+(x-a)^(n-1)*h'(x)
=(x-a)^(n-2)*{(n-1)*h(x)+(x-a)*h'(x)}(n≧3)
f''(a)=(a-a)^(n-2)*{(n-1)*h(a)+(a-a)*h'(a)}(n≧3)
=0*{(n-1)*h(a)+0*h'(a)}
n=2のとき
f''(x)=(2-1)*(x-a)^(2-2)*h(x)+(x-a)^(2-1)*h'(x)
=h(x)+(x-a)^(2-1)*h'(x)
f''(a)=h(a)

f(x)=0のn重解aは(f(x)の1~n-1次導関数)=0の解になるようです

例:f(x)=(x-1)^2(x+1)(x+2)=x^4+x^3-3x^2-x+2(1が2重解)
f'(x)=4x^3+3x^2-6x-1=(x-1)(4x^2+7x+1)(=0の解は1,{-7±√(33)}/8)
f''(x)=12x^2+6x-6=6(x+1)(2x-1)(=0の解は-1,1/2)
f'''(x)=24x+6=6(4x+1)(=0の解は-1/4)

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