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実数の間の等式 (5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1/3 = 2 ....* これを以下の手順に従...

ssk********さん

2013/9/906:42:28

実数の間の等式
(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1/3 = 2
....*
これを以下の手順に従って示せ。

(1)係数が整数であるxの三次方程式
でx=(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1 /3
が解になるものを一つ求

めよ。

(2)(1)で求めた三次方程式を解くことにより、等式*を証明せよ。

(1)は前回の質問でわかったのですが
(2)でx^2+2x+14>0となるところの根拠がわかりません。

解ける人、解説お願いします。

補足x^2+2x+7>0です

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ベストアンサーに選ばれた回答

j_b********さん

2013/9/907:04:35

(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1/3 = 2
....*
これを以下の手順に従って示せ。

(1)係数が整数であるxの三次方程式
でx=(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1 /3
が解になるものを一つ求

めよ。
a=(5√2+7)^1/3
b=(5√2−7)^1 /3 とおく

x=a-bとする
a^3ーb^3=14(条件より)
ab=1

a^3ーb^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b){(a-b)^2+3ab}
=x(x^2+3)=14
x^3+3x-14=0


(2)(1)で求めた三次方程式を解くことにより、等式*を証明せよ。

(x-2)(x^2+2x+7)=0
(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1/3 は実数である
x^2+2x+7=(x+1)^2+6≧0
x=2
これで(5√2+7)^1/3 − (5√2−7)^1/3 = 2が証明された

質問した人からのコメント

2013/9/15 14:04:20

解説までいただきありがとうございました(^ω^)

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kaj********さん

2013/9/906:51:56

x^2+2x+7=(x+1)^2+6>0
2乗すると正の数となるのでxにどの実数を入れてもx^2+2x+7は0より大きくなります。

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