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360度ではなく、ラジアンで角度を記述する意味は?

kodukai_3manen_1976さん

2007/5/2222:36:38

360度ではなく、ラジアンで角度を記述する意味は?

数学再入門の初心者です。
確か高校数学の三角関数とかで、360度ではなく、πを用いて角度を記述するラジアンってのを学びましたけど、πって計算しにくい無理数を用いて角度を記述するようになった意味ってどんなことがあるでしょうか?

個人的な感覚では、円周=半径の2倍×πってながれから、来てるのかとなんとなく思いますが、特に理論的な裏づけはないんですよね

補足marubooroxさんの回答は確かに同感です
(ベストアンサーにはまだですが)

それでは、関数電卓とか見ると、計算しにくいラジアン単位で三角関数なんかがあるんですよね
計算のたびに3.1415・・・・・・・・・・ラジアン/6とかやらなきゃいけないことを考えるとやっぱり面倒なんですよね
(数学的問題というよりは、計算機の問題かも知れませんね)

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ベストアンサーに選ばれた回答

marubooroxさん

2007/5/2222:44:43

三角関数を考えるならπで記述したほうがはるかに簡単じゃないですか。
無理数を用いて表記しているというよりもπを単位にしてしまうことで無理数を単純な整数で現わしてるんだから。
60進法なんか使うよりはるかに考えやすいです。

〉個人的な感覚では、円周=半径の2倍×πってながれから、来てるのかとなんとなく思いますが、

わかってるじゃないですか、それが大きな裏付けですよ。
円こそが三角関数の根本なんですから。

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ベストアンサー以外の回答

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wanderer8128さん

2007/5/2400:10:46

やはり三角関数の微分が楽だからでしょうね。
扇形の弧の長さなんか
2πr*(θ/360)から
rθになってますし。
1ラジアンとかは使う事は無いでしょうから、関数電卓でそうするのは不便でしょうね。

kousaku2038さん

2007/5/2323:32:14

「πって計算しにくい無理数を用いて・・・」という感覚は私にはありません。
なぜかというと、もしラジアンを使わずに高校3年、しかも理系に進むとしたら、確実に面倒だなあと思う分野にぶつかるからです。それは三角関数の微分です。

 SinXをXで微分するとCosXになり、さらに微分すると-SinXになります。
 さらに微分すると-CosXになり、もう一度微分すると、SinXに戻ります。
 (ここではXは単位を表すなら、ラジアンです)

 SinX°をXで微分していくと、どうなるか?
 1回目の微分で、(π/180)CosX°になります。
 2回目の微分で、-(π/180)^2SinX°
 3回目の微分で、-(π/180)^3CosX°
 4回目の微分で、(π/180)^4SinX°
 となります。微分するたびに係数が増えていき、非常に計算が大変になります。

 ラジアンは確かに小学校や中学校では習いませんし、いきなり教科書に出てくると意味なんて見えないかもしれません。

 ラジアンは、半径1の円を描いたとき、弧の長さが1になるときの中心角を1ラジアンとしたものです。このように角度の単位を決めたとしたら、分かりやすいのではないでしょうか?

 逆に、1周をなぜ360度にしたのか説明するほうが私には難しいです。わざわざ360等分をした理由はいったいなんなのでしょうね。1年がおよそ360日で、太陽系を地球が1周していたので、1日を1度にした!? 天動説時代の人はそんなこと考えないでしょうから、やっぱり不自然ですよね。
 と、まあ、私にはこの理由は分からないので、ぜひ別口で調べていただきたいところです。

2007/5/2315:08:26

ラジアンという無次元数を使ったほうが、単位がないため応用が広くなるからではないでしょうか。

補足の回答は、関数電卓を使ったことがないのですが、値段が高めの関数電卓なら度数での計算が出来るような気がします。私はポケコンを使っているので角度で計算しています。関数電卓でだめならパソコンを使って計算したらいかがでしょう。

sgx4500さん

編集あり2007/5/2300:52:38

ラジアン表記の方が弧の長さや三角関数の計算が簡単だからです。

1radとは、半径の長さと弧の長さが同じになる角度ですね。

例えば、半径10cmで角度が6度の扇形の弧の長さは?を計算するのは
ちょっと面倒ですが、半径10cmで角度が0.1radの弧の長さは、
10cm×0.1rad=1cm
と簡単に求められます。

また三角関数は、級数展開できて、例えば
sinθ=θ-θ^3/3!+θ^5/5!-...
と表せます。θはradです。

すると、sin(0.3rad)=0.3-0.027/6+...≒0.2955
と簡単に計算できます。
しかし、sin(18度)=などと書かれたら、
どう計算してよいか分からないですよね。

θが小さいとき(θ^3≒0の時)は、
sinθ≒θ
と扱えます。これを知っているだけでも計算が楽です。
同様に、
cosθ=1-θ^2/2!+θ^4/4!-...
なので、(θ^4≒0の時)は
cosθ=1-θ^2/2
となります。
cos(0.5rad)≒1-0.125=0.875
という具合です。

三角関数は微分積分や級数展開などでいろいろ応用ができますが、
ラジアン表記だと、簡単に計算できます。

2007/5/2300:43:13

三角関数の微積分を論じるため、というのが理由です。

角度をラジアンで表すことにより、
xを限りなく0に近づけたときの、(sin(x))/x の極限値が1になります。
そして、この式をもとにして、
sin(x) の導関数は、cos(x)、
cos(x) の導関数は、-sin(x)、
tan(x) の導関数は、1/(cos(x))^2
というように、各三角関数が非常にきれいな形で結びついているということが明らかになります。
こうして、三角関数の微積分が展開されるのです。
角度を従来の「度」で表すことにして微積分を考えることもできますが、上のようなきれいな形の式にはなりません。

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