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中3の数学です。 四角形ABCは平行四辺形で、 ABCの二等分線と対角線AC,辺CDとの交...

ththtththtさん

2013/12/3101:41:11

中3の数学です。

四角形ABCは平行四辺形で、 ABCの二等分線と対角線AC,辺CDとの交点をそれぞれE,Fとする。また、Gは線分EF上の点で,AE=AGである。
【問い】
AB:BC=3:2のとき

,BG:GFをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

何日も考えているのですが分かりません!
詳しい解説お願いします!

補足いろんな考え方を教えて下さい!

二等分線,平行四辺形,四角形ABC,交点,対角線AC,錯角,平行線

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ベストアンサーに選ばれた回答

obelisk704さん

編集あり2013/12/3114:18:23

まず、比ではなくて、実際にAB=3, BC=2 と置いてしまいます。
また、AGの延長がCDと交わる点をHとします。

△AEGが二等辺三角形であることを考慮すると、∠BEC=∠AEG=∠AGE=∠FGH(★)です。
平行線の錯角は等しいので、∠CBE=∠EBA=∠GFC(☆)より、△CBFは二等辺三角形です。したがって、CF=2, FD=1 となります。
また、★と☆より、△BEC∽△FGHですから、∠BCE=∠FHG であり、さらに(平行線の錯角は等しいので)∠FHG=∠GAB, ∠BCE=∠EAD ですから、∠GAB=∠EAD。したがって ∠EAB=∠GAD(●)となります。
平行四辺形の対角は等しいですから、∠CBA=∠ADF なので、これと●から、△ABC∽△ADH がいえます。したがって AB:BC=AD:DH ですから、3:2=2:DH。よって DH=4/3。

以上より、FH=DH-FD=4/3-1=1/3。そして明らかに△ABG∽△HFG ですから、この相似比は AB:FH=3:1/3=9:1。これが求めるべき比に等しく、答えは BG:GF=9:1 です! お疲れ様でした。


※追記 別解を考えてみました。以下へどうぞ。
http://obelisk704.web.fc2.com/memo/memo3.html

質問した人からのコメント

2014/1/2 00:49:06

ほんとにありがとうございました!
スッキリできてよかったです!

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