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0.124723686485268346237621002377323822348223922312721202220228820222028222822...

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このように次第にある数字の出現率が1に近づいてゆくような数は無理数でありましょうか。
またこの様な数が明確な数学的意味の元に出現するような例はあるでしょうか。そのときこの定数の名称は。。。

補足ある数pとそれ以外の数q少なくとも2つは任意のMに対しましてM桁以降に出現と致します。ただしpは任意の0<λ<1に対しまして0〜N桁までのpの割合はλ以上となるある自然Nが存在できます。このように定義されました場合。。どうであられましょうか。。
又この様な数が人為的ではなく数学的考察の結果として自然と或いは考察の過程で(人為的でも)必要に迫られまして出現致しますような面白い例はありますものでありましょうか。

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ベストアンサーに選ばれた回答

s12********さん

編集あり2014/1/112:37:04

mleparadonanさん

一桁の数字をaとして
a=lim[x→∞]f(x)
ただし、f(x)は非定数関数かつ非周期関数
と言う関数と定義すれば
特定の数字の出現率が1に近づく無理数は下記の式で作れます。
Σ[x=1,∞] (f(x)/(10^x))※

ご質問の0.124723…となるf(x)は、わかりませんでしたが
少なくともとf(x)が無制限に作れてしまうので、
数学的な意味を持たせるためには、別の条件が必要になるかと思います。

※式を訂正しました。

>補足
位取り記数法自体が人為的な数の表し方なので、なんともいえませんが、
人為的な例だとリウヴィル数とか
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E...

質問した人からのコメント

2014/1/1 17:13:46

成功 皆様回答有難う御座いました。リウヴィル数は一致しておりますか。出自といたしましてどの様な背景があるのだろう


整数論の書物を見ておりました所
少なくとも2種の数が無限に現れまして任意のNに対しましてうち少なくとも1種がN回連続致します様な定数は無理数ということで学習してありました。証明に関しましてこの定理を使えば可能であるかも知れません。(尚。超越数でありますかどうかは難しそうなので独立と致しました。。。

ベストアンサー以外の回答

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2014/1/110:49:26

要はN=1/9*I+Σ[k=1,∞](c_k)*(1/10^k) (c_kはk→∞でだいたい0, -9~+9の1桁整数付与をする関数,Iは∞部分で繰り返しでてくる数字から逆算)って関数でしょうから。

c_kが0でない値を返すのが近づいても頻度が0でない以上は無理数になり得るわけですが…。一定桁数で区切って度数分布を調べて近似関数を推定して…なんてやってもいいのかもしれませんがどうなんでしょうね。

非循環ではあるのですが、桁数を膨張させていくと、次にエラーが発生するまでの間隔も膨張しますね。有理数と無理数とでそのパワーバランスがありそうな気がします。確率関数が0への収束速度と桁数を上げていく関数(一定速度)とでどっちが速いかって問題になりそうです。

超越性があるかどうかは私には分かりませんが、その頻度というか密度は低いように感じます。

たろうさん

2014/1/110:30:23

無理数かもしれないし、そうでない有理数の場合もあります

例えば、例示された数の…以降がすべて2なら循環小数ですので有理数です
一方、…以降が下記のような並びなら、2の出現率は1に近づいていきますが無理数です
1 12 122 1222 12222 122222 …
(1, 2, 3, 4, 5, 6桁ずつ「先頭のみ1で残りは2」というブロックが続く)

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