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至急!!座標の問題がわからないので教えてください(T_T)

kon********さん

2014/2/217:48:39

至急!!座標の問題がわからないので教えてください(T_T)

y=x^3-3x+5上を動く点Pがあり、点Pのx座標をt(-2≦t≦2)とする。また、x軸上に2点Q(t,0)、R(t+1,0)をとり、点Pにおける接線の傾きと直線PRの傾きをそれぞれm1、m2とする。

1.m1>m2となることを示せ
2.0≦t≦2の範囲で点Pが動くとき、三角形PQRが動いてできる領域の面積を求めよ

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ker********さん

2014/2/920:19:34

1.
y=x^3-3x+5
y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)なので、
y'=0とおくと、x=±1
よってグラフは下の左のようになる。

点p(t,t^3-3t+5)における接線の傾きm1は
3t^2-3

直線PRの傾きm2は、
{0-(t^3-3t+5)}/{(t+1)-t}=-t^3+3t-5

ここで、m1-m2をつくり、g(t)とおくと、
g(t)=(3t^2-3)-(-t^3+3t-5)=t^3+3t^2-3t+2
g'(t)=3t^2+6t-3=3(t^2+2t-1)
ここで、g'(t)=0とおくと、
t=-1±√(1+1)=-1±√2
-2≦t≦2より、増減表は下の右のようになる。
よって、t=-1+√2のとき最小値をとるので、
g(-1+√2)=(-1+√2)^3+3(-1+√2)^2-3(-1+√2)+2
=7-4√2=√49-√32>0
よって、-2≦t≦2のとき、g(t)>0となるので、
m1>m2
となる。

2.
0≦t≦2の範囲で点Pが動くとき、三角形PQRが動いてできる領域は、
y=x^3-3x+5の0≦x≦2の範囲と、t=2の時P(2,7),Q(2,0)R(3,0)で描く三角形の面積との和となる。
つまり、求める面積Sは下の図の斜線部分となる。
S=∫(0→2)(x^3-3x+5)dx+1/2・1・7
=[1/4・x^4-3/2・x^2+5x](0→2)+7/2
=8+7/2=23/2

1.
y=x^3-3x+5
y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)なので、
y'=0とおくと、x=±1...

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