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関数fn(x)=x^n/e^nxの関数項級数が一様収束するかどうかおしててください。

tbx********さん

2014/5/1116:37:19

関数fn(x)=x^n/e^nxの関数項級数が一様収束するかどうかおしててください。

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こうさん

2014/5/1412:36:44

g(x)=x/e^xとおきます。すると、
fn(x)={g(x)}^n … ①
となります。

g(x)について調べると
g'(x)=(1-x)/e^x
x<1のとき、g'(x)>0
x>1のとき、g'(x)<0
よって、g(x)はx=1で極大値1/e。
また、g(0)=0、lim g(x)=0(x→∞)なので、g(x)はx≧0においてはx=1で最大値1/e、最小値は0となります。つまり、

0≦g(x)≦1/e …②

①②より
0≦fn(x)≦(1/e)^n … ③

③において、(1/e)^nはn→∞のとき0に収束するので、はさみうちの原理からfn(x)も0に収束する。また、③式において、(1/e)^nはxの値によらず0に収束するので、一様収束が示せたことになる。

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