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高校の数学の事なのですが、解けないので教えてください。 問題 「四面体OABCに...

kit********さん

2014/10/610:14:25

高校の数学の事なのですが、解けないので教えてください。
問題
「四面体OABCにおいて、OA⊥BCかつOB⊥CAならば、OC⊥ABとなることを証明せよ。」
回答よろしくおねがいします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

aki********さん

2014/10/610:26:23

四面体OABCが存在するため
OA>0,OB>0,OC>0,AB>0,BC>0,CA>0

OA⊥BCより
(OAベクトル)・(BCベクトル)=0
⇔(OAベクトル)・(OCベクトル-OBベクトル)=0
⇔(OAベクトル)・(OCベクトル)-(OAベクトル)・(OBベクトル)=0
⇔(OAベクトル)・(OBベクトル)=(OAベクトル)・(OCベクトル)……①

同様にOB⊥CAより
(OBベクトル)・(CAベクトル)=0
⇔(OBベクトル)・(OAベクトル)ー(OBベクトル)・(OCベクトル)=0
⇔(OAベクトル)・(OBベクトル)=(OBベクトル)・(OCベクトル)……②

①②より
(OAベクトル)・(OCベクトル)=(OBベクトル)・(OCベクトル)
⇔(OCベクトル)・(OBベクトル-OAベクトル)=0
⇔(OCベクトル)・(ABベクトル)=0

したがって OC⊥AB である。

質問した人からのコメント

2014/10/6 12:53:15

降参 理解することができました。ありがとうございました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kum********さん

2014/10/610:24:01

kitamurazirouさん 2014/10/6 10:14:25

高校の数学の事なのですが、解けないので教えてください。
問題
「四面体OABCにおいて、OA⊥BCかつOB⊥CAならば、OC⊥ABとなることを証明せよ。」
回答よろしくおねがいします。

==========

この質問の内容では、どの分野(過程)の問題なのか解りませんが、
ベクトルを使って回答します。

ベクトル記号は省略します。

OA⊥BCより
OA・BC=0
OA・(OC-OB)=0
OA・OC-OA・OB=0
OA・OC=OA・OB ①

OB⊥CAより
OB・CA=0
OB・(OA-OC)=0
OA・OB-OB・OC=0
OA・OB=OB・OC ②

①②より
OA・OC=OB・OC
OA・OC-OB・OC=0
(OA-OB)・OC=0
BA・OC=0
これより、BA⊥OCとなり、すなわちOC⊥ABとなる。

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