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数学の問題です。

epl********さん

2014/10/1921:25:11

数学の問題です。

座標平面上に放物線C:y=x^2-5x+5 と直線l: kx-2k-2がある。ただし、kは実数の定数である。

放物線Cと直線lが異なる2点で交わるとき、交点をP ,Q とする。線分PQ の中点Mのx座標をkを用いて表すとk+□/□である。

また、中点Mの奇跡は、放物線y=□x^2-□x+□の、x<□、□<xの部分である。


解いてくださいお願いします!

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pcg********さん

2014/10/2416:14:31

x^2-5x+5 = kx-2k-2
x^2-(5+k)x+2k+7=0
の解をx1,x2とすると
x1+x2=k+5
線分PQ の中点Mのx座標=(x1+x2)/2=(k+5)/2
これを y=kx-2k-2に代入して
線分PQ の中点Mのy座標=k^2/2+k/2-2
M(X,Y)とおくと
X=(k+5)/2…①, Y=k^2/2+k/2-2…②
①よりk=2X-5…③
③を②に代入して整理すると
Y=2X^2-9X+8
よって、中点Mの軌跡は、放物線y=2x^2-9x+8
また、x1,x2は異なる実数だから
D=(k+5)^2-4(2k+7)>0
(k+3)(k-1)>0
k<-3,1<k
③を代入して
2x-5<-3,1<2x-5
x<1, 3<xの部分である。

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